La derivada de la función inversa y de funciones especiales Funciones inversas La derivada de la función inversa La derivada de funciones especiales

Funciones inversas Recordamos la definición de la función inversa de una dada. Definición Sea f: A  B una función. Si existe una función g: B  A tal que f ◦ g es la identidad en B, y g ◦ f es la identidad en A, entonces la función f tiene inversa, y la función g es la función inversa o recíproca de la función f. Esta condición significa que  b B: f(g(b)) = b y  a A: g(f(a)) = a. Aquí la operación “-1” se aplica a la función f no a los valores de la función. Notación La función inversa de una función f se escribe como f -1. ¡Cuidado! Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Hallando funciones inversas Para hallar la función inversa de una función dada f: A  B se despeja la variable x en función de la y en la ecuación y = f(x). Si es posible realizar este cálculo y la solución es única, entonces la función f tiene función inversa, y es esta solución la que define a la función inversa. Para hallar la función inversa de la función y = x2, despejamos x en función de y en la ecuación anterior. Esto sólo se puede realizar si restringimos el dominio de la función y = x2 a los reales no negativos. Ejemplos f f-1 y=x Entonces la función f -1 (y) = es la función inversa de la función y = f(x) = x2. La gráfica de la función inversa se obtiene reflejando la gráfica de la función f respecto a la recta y = x. Este reflexión cambia los papeles de x e y. Es decir los puntos de las gráficas de f y f -1 son simétricos respecto a y=x Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Gráficas de funciones inversas y=x Como hemos observado anteriormente, la gráfica de la función inversa f -1 de una función f dada se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y = x. Concluimos también que la recta roja tangente a la gráfica de f en el punto (x0,y0) es la reflexión de la recta azul tangente a la gráfica de f -1 en el punto (y0,x0). Sea  el ángulo con el que la recta roja tangente interseca con el eje x, y  el ángulo con el que la recta roja tangente interseca con eje x. Por consiguiente, mediante geometría, puede verse que  = /2 – . Es decir, las pendientes de las dos rectas tangentes satisfacen: (pendiente recta azul) (pendiente recta roja) = tan( )tan(/2 –  ) = 1. Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa Respecto a las derivadas esta ecuación: (pendiente recta azul) (pendiente recta roja) = tan( )tan(/2 –  ) = 1 implica que D(f(x))D(f -1(y)) = 1. Derivada de la función inversa D(f(x))D(f -1(y)) = 1 Demostración mediante la regla de la cadena Teniendo en cuenta la propiedad de la función inversa f -1(f(x)) = x. Mediante la regla de la cadena se obtiene D(f -1(f(x))) D(f -1)(f(x)) f’(x) = 1, es decir, D(f -1(y)) D(f(x)) = 1. Aquí y = f(x). De ahí, D(f -1(f(x))) = D(x) = 1. Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Hallando derivadas de funciones inversas Ejemplo Halla la derivada de la función La función g es la función inversa de la función y = f(x) = x2. Solución Mediante la derivada de la función inversa, g’(y) = f f-1 y=x Después sustituimos para obtener g’(y) = Por conveniencia, expresamos el resultado en términos de x. Tenemos por tanto: g’(x) = Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Hallando derivadas de funciones inversas Ejemplo Hallar la derivada de la función y = g(x) = arcsen x. Solución La función g es la función inversa de la función y = f(x) = sen x. Mediante la derivada de la función inversa, g’(y) = Sustituyendo se obtiene g’(y) = Por conveniencia, expresamos el resultado en función de x. Tenemos por tanto: g’(x) = Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Hallando derivadas de funciones inversas Ejemplo Hallar la derivada de la función y = g(x) = arctan x. Solución La función g es la función inversa de la función y = f(x) = tan x. Mediante la derivada de la función inversa, g’(y) = Sustituyendo se obtiene g’(y) = Por conveniencia, expresamos el resultado en función de x. Tenemos por tanto: g’(x) = Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Hallando derivadas de funciones inversas Ejemplo Hallar la derivada de la función y = g(x) = ln x. Solución La función g es la función inversa de la función y = f(x) = ex . Mediante la derivada de la función inversa, g’(y) = Sustituyendo se obtiene g’(y) = Por conveniencia, expresamos el resultado en función de x. Tenemos por tanto: g’(x) = Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Funciones exponenciales Fórmula Demostración Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Derivada de potencias Derivada de potencias Para cualquier número real r se tiene Demostración Escribimos xr = erlnx , y utilizamos la regla de la cadena para obtener: Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Resumen de las derivadas de funciones especiales 6 1 2 7 3 8 4 9 5 Deben saberse de memoria Diferenciabilidad/Reglas de diferenciabilidad/La Derivada de la función inversa

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä