Modelización matemática como estrategia pedagógica Mónica E. Villarreal CONICET – FaMAF (UNC) Córdoba – 2008 mvilla@famaf.unc.edu.ar

Algunas consideraciones… MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE LA NACIÓN Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática. Recomendación: … incorporar el aspecto empírico de las ciencias en el aula y recuperar la idea de actividad de modelización para la enseñanza de la matemática. (2007, p. 11)

Algunas consideraciones… DOCUMENTOS CURRICULARES DE LA PROV. DE CÓRDOBA Este enfoque requiere considerar dos aspectos insoslayables: la cohesión interna de la disciplina y los procesos de modelización de la misma. La cohesión interna de la Matemática está estrechamente ligada a:  la comprensión conceptual;  la habilidad de plantear problemas y resolverlos con una variedad de estrategias;  la significación y la funcionalidad a través de su conexión con el mundo real, entre sus diversas ramas y con las otras ciencias y  la potencia de la Matemática para modelizar problemas de otras disciplinas, a partir de su estructuración lógica y su lenguaje. Diseño curricular para el Tercer Ciclo de EGB de la Provincia de Córdoba

Dos diferencias importantes… Enseñar modelos matemáticos y sus aplicaciones Enseñar a generar modelos matemáticos Enseñar matemática a través del proceso de modelización matemática Dominar competencias matemáticas Dominar conceptos y procedimientos

¿En qué consiste el proceso de modelización matemática? MODELO A B S T R C I Ó N PROBLEMAS PARA ANALIZAR TEMA MODIFICACIÓN SOLUCIÓN ANALÍTICA O NUMÉRICA RESOLUCIÓN MATEMÁTICA EXPERIMENTACIÓN DATOS EXPERIMENTALES O EMPÍRICOS V A L I D C ÓN APLICACIÓN BASSANEZI

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización Aplicaciones de modelos matemáticos ya conocidos en la resolución de problemas reales. MATEMÁTICA MUNDO REAL aplicación EJEMPLO: Un pequeño negocio estima que el valor V(t) de una máquina fotocopiadora se deprecia de acuerdo con la función donde t es el número de años que han transcurrido desde que se compró la máquina, V(t) está en dólares. a) ¿Cuál fue el valor original de la máquina? b) ¿Cuál es el valor de la máquina 5 años después de la compra? c) ¿En cuánto tiempo la máquina pierde la mitad de su valor original?

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización Planteo, con fines motivadores, de un problema “real” que ilustra la aplicación del modelo matemático a estudiar. EJEMPLO: Desde un barco que se halla en situación de emergencia se efectúa un disparo, en forma vertical, con una pistola de señales. El destello podrá verse desde la base naval más cercana únicamente mientras se encuentre a una altura no menor de 195 m sobre el nivel del mar. Los técnicos que integran la tripulación estiman que, de acuerdo con las características de la pistola de señales y con las condiciones en que se dispara, la altura del destello estará dada por la siguiente fórmula: donde h es la altura sobre el nivel del mar, en metros, cuando hayan transcurrido t segundos desde el momento del disparo. Esta fórmula corresponde a una función cuadrática…

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización Aplicaciones de modelos matemáticos en problemas reales. Planteo, con fines motivadores, de un problema “real” que ilustra la aplicación del modelo matemático a estudiar. MATEMÁTICA MUNDO REAL aplicación Problemas ficticios o semi-reales Contexto real como disfraz para un problema matemático El fin último es presentar un marco para la aplicación de un contenido ya estudiado o motivar la presentación de un nuevo tema. Se muestra cómo una determinada función, ecuación diferencial, etc. modela un fenómeno dado, pero no cómo ese modelo es obtenido.

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización Trabajo con proyectos donde el tema y problemas asociados con el mismo son propuestos por el profesor. EJEMPLO: El texto de una campaña de seguridad vial dice: Un auto conducido a 60 km/h se adelanta a otro auto que circula a 50 km/h. Cuando los autos están uno al lado del otro una niña aparece algunos metros más adelante. Los conductores reaccionan al mismo tiempo y los autos tienen frenos de igual calidad. El auto que va a 50 km/h se detiene justo al frente de la niña, mientras que el otro auto, con velocidad de 60 km/h, atropella a la niña a 44 km/h. Siete de cada diez personas mueren en un accidente como ese. ¿Puede esto ser cierto?

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA COMO ESTRATEGIA PEDAGÓGICA Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización Trabajo con proyectos donde los estudiantes son invitados a elegir el tema y, con la ayuda del profesor, a plantear problemas para ser resueltos. No se restringe el contenido o contenidos matemáticos a trabajar. Es difícil determinarlos a priori. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA COMO ESTRATEGIA PEDAGÓGICA

PROBLEMAS PARA ANALIZAR Modelización con alumnos de 1er año Mina, M.; Esteley, C.; Marguet, I. & Cristante, A., 2006 PROBLEMAS PARA ANALIZAR EXPERIMENTACIÓN DATOS EXPERIMENTALES O EMPÍRICOS MODELO MODIFICACIÓN VALIDACIÓN ABSTRACCIÓN TEMA “Si van a estudiar las raquetas adecuadas al crecimiento del niño, allí falta la variable edad”

Ajuste de curvas Marcos: “¡La recta 1 es la que pasa por la mayor cantidad de puntos!”. “La recta 1 se debe quebrar acá”

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización 3. Trabajo con proyectos donde el tema y problemas asociados con el mismo son propuestos por el profesor. 4. Trabajo con proyectos donde los estudiantes son invitados a elegir el tema. modelización MATEMÁTICA MUNDO REAL Los alumnos pasan por el proceso de generar un modelo. Posibilidad de los estudiantes de intervenir y participar del diseño del currículo al manifestar sus propios intereses. Estas perspectivas implican un desafío importante tanto para estudiantes como para profesores

Modelización matemática como estrategia pedagógica Supone la creación de un ambiente de aprendizaje que promueva y de de soporte a un trabajo de investigación Escenarios para la investigación Se opone a la educación matemática que se encuadra en el paradigma del ejercicio. Procura que en las aulas los alumnos adquieran la competencia de modelización. Lleva al aprendizaje de contenidos matemáticos conectados a otras formas de conocimiento, superando una visión internalista de la Matemática. Plantea un trabajo interdisciplinario.

Modelización matemática como estrategia pedagógica Tiene en cuenta la realidad específica de cada región y los intereses de los estudiantes procurando una mayor motivación y una participación efectiva de los estudiantes en sus comunidades. Permite interrelacionar factores teóricos y prácticos. conocimiento matemático conocimiento tecnológico conocimiento reflexivo conocimiento extramatemático

Modelización y Currículo “La mayor dificultad que hemos observado en la adopción del proceso de modelización en los cursos que hemos conducido es el quiebre de la barrera colocada por el sistema educacional tradicional, cuyo objetivo es casi siempre claramente esbozado siguiendo una secuencia de requisitos previos y previendo resultados definitivos. En la modelización el comienzo es meramente un tópico en el cual la Matemática que será usada todavía es desconocida.” (Bassanezi, 1994) TENSIONES

¿Qué puede hacerse ahora, para que mañana se haga lo que hoy no se puede hacer? REVISAR LOS PROBLEMAS Carlos tiene 5 amigos y Jorge tiene 6 amigos. Deciden hacer una fiesta juntos e invitan a todos sus amigos. Todos los amigos están presentes. ¿Cuántos amigos hay en la fiesta? Bruno y Alicia van a la misma escuela. Bruno vive a 17 km de la escuela y Alicia a 8 km. ¿A qué distancia viven entre ellos?

E A B E A B E A B E A B

PLANTEAR PROBLEMAS ABIERTOS ¿Qué puede hacerse ahora, para que mañana se haga lo que hoy no se puede hacer? PLANTEAR PROBLEMAS ABIERTOS ¿Cómo podrían compararse los precios de diferentes contratos de telefonía móvil dependiendo de los hábitos del cliente? ¿Es posible calentar el agua requerida en un determinado poblado a través de paneles solares ubicados en los techos de las casas? ¿Cómo se vería Barbie si tuviera la altura promedio de una mujer?

Modelización, el profesor y los alumnos Inseguridad de no tener todos los pasos previstos y programados. Importancia del trabajo colaborativo. Abordaje que insume tiempo. Búsqueda de equilibrio. La experiencia previa del profesor en actividades de modelización es deseable. Actitudes de los estudiantes.

¿Cómo ser educador sin tener una utopía? (D’Ambrosio, 2001)

Bibliografía BARBOSA, J.C. (2001) Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores. Río Claro: UNESP. Tesis de Doctorado en Educación Matemática. BASSANEZI, R. (1994) Modelling as a Teaching – Learning Strategy. For the learning of Mathematics, v. 14, n.2, p. 31 – 35. FLM Publishing Association, Vancouver, Canada. BASSANEZI, R. (2002) Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Editora Contexto. BIEMBENGUT, M. & HEIN, N. (2000) Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Editora Contexto. BLOMHØJ, M. (2004) Mathematical modelling - A theory for practice. En: Clarke, B.; Clarke, D. Emanuelsson, G.; Johnansson, B.; Lambdin, D.; Lester, F. Walby, A. & Walby, K. (Eds.) International Perspectives on Learning and Teaching Mathematics. National Center for Mathematics Education. Suecia, p. 145-159. BLOMHØJ, M. HØJGAARD JENSEN, T. (2003) Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and its Applications, 22 (3), 123-139. BLUM, W. ET AL. (2002) ICMI Study 4: Applications and modelling in mathematics education – Discussion Document. Educational Studies in Mathematics. 51. 149-171. BORBA, M. & VILLARREAL, M. (2005) Humans-with-media and the reorganization of mathematical thinking: information and communication technologies, modeling, experimentation and visualization. V. 39. 232 páginas. Springer Science+Business Media. New York. DAVIS, P. & HERSH, D. (1989) Experiencia Matemática. Barcelona: Editorial Labor. FOUREZ, G. (1995) A construção das ciências. Introdução à Filosofia e à Ética das Ciências. Trad. L. P. Rouanet. São Paulo: Editora UNESP 319 p. Traducción de: La construction des sciences. Introduction à la philosophie et à l'éthique des sciences. GAZZETTA, M. (1989) A modelagem como estratégia de aprendizagem da Matemática em cursos de aperfeiçoamento de professores. Tesis de maestría. Universidade Estadual Paulista. São Paulo. GYSIN, L. (1997) ¿Por qué?...¿Cómo?...¿Cuál? Hacia una mejor comprensión de los CBC de Matemática para la EGB (II). En Iaies, G. Los CBC y la enseñanza de la Matemática. A-Z Editora. p. 41 - 61. SKOVSMOSE, O. (2000) Cenários para Investigação. Bolema - Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n.14,p. 66-91.

Torroba, Etcheverry, Reid, Evangelista - UNLP 72 cm EJEMPLO: Manolo es tambero. En su tambo se fabrica queso. La olla de la foto, en la que se lo ve tomando sus medidas, tiene adosada en su parte inferior un mechero. Para la fabricación del queso debe ponerse a hervir en la olla cierta cantidad de leche que, al cabo de algunas horas de hervor, reducirá su volumen. Cuando la leche ha hervido lo suficiente se agregan distintos tipos de ácidos que intervienen en el proceso de fabricación del queso. La cantidad de estos ácidos debe ser proporcional al volumen de leche que contiene la olla y por ello el tambero nos solicitó una tabla que le permitiera conocer la cantidad de litros de leche contenida en la olla con sólo medir la altura que alcanza el líquido en dicho recipiente. Torroba, Etcheverry, Reid, Evangelista - UNLP Tabla realizado por Manolo 72 cm 50 cm 75 cm 68 cm H