Longitud de arco.
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN P2 |P1P2| P1 y2 y1 x1 x2 Al igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa. Si se estudiara un segmento de recta que une P1 y P2 su longitud sería: P2 y2 |P1P2| y1 P1 x1 x2
a x1 x2 xi-1 xi xn=b P0 P1 P2 Pi Pi-1 Pn C LONGITUD DE ARCO Si la curva C se define mediante la ecuación y=f(x), donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C tomando una partición P de [a; b], con a = x0 < x1 < x2 <.......< xn = b. Los puntos Pi(xi; yi) están en la curva y el polígono de vértices Pi es una aproximación de C. La longitud de esa aproximación poligonal será: a x1 x2 xi-1 xi xn=b P0 P1 P2 Pi Pi-1 Pn C
La longitud anterior parece mejorar a medida que n ∞, por lo tanto definimos: La cual como se ve no es aún una suma de Riemann, sin embargo, si f '(x) es continua, se puede escribir:
TEOREMA Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es: Que en términos de integral adopta la forma:
Ejemplo 1: Calcula la longitud de arco de la parábola semicúbica y2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)
Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la longitud de arco se calculará con: Ejemplo 2: Calcula la longitud del arco de parábola y2=x, de (0; 0) hasta (1; 1)
Ejemplo 3: Plantee una integral para hallar la longitud de un arco de la hipérbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ½). Con ayuda de un asistente matemático calcule la integral planteada en a).
Ejemplo 4: Determina la longitud de un arco de la curva , desde (1; 1) hasta un punto de abscisa x.
Ejemplo 5: Calcula la longitud de cada una de las curvas en los intervalos indicados.
Ejemplo 6: Trace la curva cuya ecuación es y calcule su longitud aprovechando su simetría.
Ejemplo 7: Calcula la longitud de la curva: