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FUNCIONES
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Consideremos dos conjuntos numéricos
Conjunto de partida : y1 x1 Conjunto de llegada y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B
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f(x) : y1 x1 y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B
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En este caso se definió una RELACIÓN de A en B
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Formas de expresar una relación
Diagramas de Venn Enunciado Fórmula Pares ordenados (Tabla) Puntos del plano (Gráfico)
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DIAGRAMA DE VENN : -4 -2 -2 -1 1 1 2 3 2 4 6 7
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ENUNCIADO R : “A cada valor de X le corresponde su doble” R : “Y es el doble de X”
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y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x”
FÓRMULA y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x”
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TABLA DE VALORES X f(X) 1 2 4 -2 -4 9 18 0,5 1,25 0,75 -2,5
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GRÁFICO
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Definiciones Dominio: Es el conjunto de todos los elementos X del conjunto de partida que poseen imagen. Imagen: Es el conjunto de todos los elementos Y del conjunto de llegada que son imagen de algún valor de X
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z R ¾ 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 y Conjunto de partida
Conjunto de llegada 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 Dominio (Dm) Imagen (Im) y z R
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Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que:
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que:
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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Todos los valores de X tienen una imagen Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA) Cada valor de X tiene una y solo una imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)
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El dominio coincide con el conjunto de partida
EXISTENCIA UNICIDAD El dominio coincide con el conjunto de partida
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FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Son aquellas cuyo Dominio e Imagen con subconjuntos de R, o bien, el mismo R. f: AB / f(x)=y
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EJEMPLOS
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¿La siguiente fórmula representa a una función?
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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
INYECTIVA: Una función es inyectiva si y solo si a cada par de valores distintos de X del dominio le corresponden imágenes distintas.
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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
SOBREYECTIVA: Una función es sobreyectiva si y solo si todos los elementos Y del conjunto de llegada son imagen de algún elemento X del dominio.
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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y solo sí es inyectiva y sobreyectiva.
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Ejemplos
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Ejemplos
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Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva
FUNCIÓN INVERSA: Dada una función f : AB Si existe una relación f -1 : BA y es función, entonces f -1 se llama función inversa de f. Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva
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Ejemplo Sea f: RR / f(x) = 2x+1 Despejamos x Expresamos la nueva función
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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Intervalos abiertos (a ; b) Intervalos cerrados [a ; b] Intervalos semiabiertos (a ; b] [a ; b)
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FUNCIÓN LINEAL
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Una función lineal es aquella cuya forma es:
y = mx +b donde: m es la pendiente b es la ordenada al origen
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Si m=0, la función es CONSTANTE f(X)=b
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Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta
Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta. Forma Explícita : y = mx + b Forma implícita o general: Ax + By + C = 0 Forma segmentaria: x/a + y/b = 1
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Condición de paralelismo y perpendicularidad
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Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
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Ejemplos
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
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f : R R tal que f(x) = ax2 + bx + c a, b, c R, a 0
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El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA cuyos elementos principales son:
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Eje de simetría Ordenada Al origen Vértice Raíces
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Distintas posiciones y formas de la parábola
Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia arriba, en ese caso habrá un MÍNIMO Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, en ese caso habrá un MÁXIMO Cuado mayor es el valor absoluto de a, la curva es más cerrada.
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Ejemplos: f(x) = x2 +3x – 1 f(x) = –0,5 x2 +3x – 2
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Cálculo de la posición de los elementos de la parábola
Raíces: Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)
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Ordenada al origen Eje de simetría
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Análisis del discriminante
= b2 – 4ac Si > 0 la función tiene dos raíces reales y distintas, es decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1 x2) Si = 0 la función tiene dos raíces reales e iguales (una raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2) Si < 0 la función no tiene raíces raíces reales, es decir el gráfico no corta al eje x en ningún punto.
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> 0 = 0 < 0
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Ejemplo de aplicación práctica de la función cuadrática
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FUNCIÓN LOGARÍTMICA
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f : R+ R tal que: f(x) = logb (x) b R , b > 0 , b 1
Función logarítmica f : R+ R tal que: f(x) = logb (x) b R , b > 0 , b 1
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Gráfico f(x) = log2 x
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Variación del gráfico según la expresión del argumento
Base Argumento
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f(x) = log2 (x-1)
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f(x)= log2(x – 1) f(x)= log2(x + 3) f(x)= log2(x – 3)
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Variación del gráfico según el valor de b
b< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)
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FUNCIÓN EXPONENCIAL
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f: R R / f(x) = k.ax + b
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f(x) = 2x
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Función polinómica f : R R tal que:
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Ejemplos: Graficar la siguientes funciones f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5 f(x) = log2 (2x – 1) f(x) = – 2. 2x + 4
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