Problemas resueltos de la Derivada Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. 1 El dibujo de la derecha muestra la gráfica de una función y la de su derivada. ¿Cuál es cuál? 2 ¿Para qué valores de la variable la función f(x) = |x| es derivable? Hallar la derivada de la función: 3 Dada la función: ¿Es derivable en x = 0? 5 Por definición ¿Es derivable la función g(x) = x2|x| en x = 0? 4 Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

La definición de derivada Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Gráficas de las derivadas Problema El dibujo de abajo muestra la gráfica de una función y la de su derivada. ¿Cuál es cuál? A B Solución Necesitamos utilizar el hecho de que los valores de la derivada de una función muestran la pendiente de la recta tangente. c d La pendiente de la recta tangente a la gráfica A es negativa en el intervalo[c,d]. La gráfica B, la de azul, toma valores positivos en el intervalo[c,d]. Consecuentemente, la gráfica B no puede ser la gráfica de la derivada Conclusión La gráfica B es la de la función y la A, la de su derivada. Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición Problema ¿Para qué valores de la variable la función f(x) = |x| es derivable? Hallando la derivada por definición obtenemos, si x > 0: Solución Si x < 0, obtenemos, de la misma forma, f’(x) = –1. Si x = 0, obtenemos No existe límite cuando h  0. De ahí, Se concluye que la función f(x) = |x| es derivable para todo x  0. Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición Problema Mediante la definición de derivada, hallamos la derivada de la función Solución Calculando la derivada por definición obtenemos: De ahí, Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición Problema ¿Es derivable la función g(x) = x2|x| en x = 0? Solución Hallando la derivada por definición obtenemos : De ahí, La función g tiene derivada en x = 0, siendo g’(0) = 0. g(x) = x2|x|. Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición Problema ¿Es derivable la función en x = 0? Comentario La gráfica de la función f muestra que f es continua en x = 0 pero puede o no tener derivada en x = 0. Para saber si existe la derivada en x = 0, debemos recurrir a hallarla por definición. f(x) = x cos(1/x). Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición ¿Es derivable la función en x = 0? Problema Solución Hallando la derivada por definición obtenemos : La función cos(1/x) oscila infinitamente entre –1 y 1 cuando nos aproximamos a x = 0. Por lo que la expresión no tiene límite cuando h  0. f(x) = cos(1/x). Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Derivadas por definición ¿Es derivable la función en x = 0? Problema Solución (continuación) Apoyándonos en lo anterior: no tiene límite cuando h  0. De ahí, que el límite no existe. f(x) = x cos(1/x). Por lo tanto, la función f no es derivable en x = 0. Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä