Extremos absolutos en intervalos cerrados

¡Reflexión! José es un empresario que se dedica a la fabricación y venta de puntales metálicos. Debido al espacio de almacenamiento de su fábrica sólo puede producir hasta un máximo de José quisiera saber cuántos puntales debe fabricar para optimizar sus utilidades mensuales.

Temario 1. Extremos absolutos en intervalos cerrados

4 Logro: Al finalizar la sesión, el estudiante calcula los extremos relativos de la gráfica de una función en un intervalo cerrado (extremos absolutos) utilizando la primera derivada. CÁLCULO

5 Optimización en intervalos cerrados x y f (a) ab f (b) f x y f (a) ab c f (c) f x y ab f (d) f cd Recuerde que a los valores extremos máximo y mínimo de una función se les llama extremos absolutos. CÁLCULO Una función continua en un intervalo cerrado [a; b] tiene sus extremos absolutos en x = a o x = b o en un número crítico c de [a; b].

6 Ejemplo 1: CÁLCULO Solución: Halle los valores extremos absolutos de f(x) = x 3 – 15x x – 5 en el intervalo [0; 6] Derivando para hallar los valores críticos: f ´(x) = 3x 2 – 30x + 63 f ´(x) = 0, es decir: 3x 2 – 30x + 63 = 0, Entonces tenemos los valores críticos x = 3 y x = 7. Pero 7 no está en el intervalo [0; 6], por lo que lo descartamos. Luego, f(3) = (3) 3 – 15(3) (3) – 5 = 76 f(0) = (0) 3 – 15(0) (0) – 5 = -5 f(6) = (6) 3 – 15(6) (6) – 5 = 49 Por lo tanto, el máximo absoluto es 76 y el mínimo absoluto es -5.

7 Ejemplo 2: CÁLCULO Solución: Halle los valores extremos absolutos de, para 0 < x < 4 Derivando para hallar los valores críticos: Entonces tenemos los valores críticos x = 3 y x = -1. Pero -1 no está en el intervalo [0; 4], por lo que lo descartamos. Luego, f(3) = 1/6 f(0) = -1/3 f(4) = 3/19 Por lo tanto, el máximo absoluto es 1/6 y el mínimo absoluto es -1/3.

Pon a prueba tus conocimientos Resuelve el ejercicio y marca la respuesta correcta Test

Test 1: 9 CÁLCULO Alternativas: Ver solución de Test 1 A) B) C) D) Halle los valores extremos absolutos de g(x) = -2x(x x + 72) para -1 < x < 5. Máx: 176, Mín: -220 Máx: 176, Mín: -224 Máx: 6, Mín: -210 Máx: 176, Mín: -216

Test 1: Solución 10 CÁLCULO Solución: Respuesta: B) Halle los valores extremos absolutos de g(x) = -2x(x x + 72) para -1 < x < 5. g´(x) = -6x x Entonces tenemos los valores críticos x = 4 y x = 6. Luego, g(4) = -224 Por lo tanto, el máximo absoluto es 176 y el mínimo absoluto es Desarrollamos la función: g(x) = -2x x x = 0 Pero 6 no está en el intervalo [-1; 5], por lo que lo descartamos. g(-1) = 176 g(5) = -220

11 Ejemplo 3: CÁLCULO 11 José es un empresario que se dedica a la fabricación y venta de puntales metálicos. Debido al espacio de almacenamiento de su fábrica sólo puede producir hasta un máximo de José quisiera saber cuántos puntales debe fabricar para optimizar sus utilidades mensuales.

12 Del texto, deducimos que el dominio es: [0; 750] Entonces tenemos los valores críticos q = 100 y q = 566,67. Luego, U(100) = miles de soles U(566,67) = 32814,81 miles de soles U(0) = miles de soles U(750) = 3125 miles de soles Por lo tanto, la máxima utilidad se obtiene al producir y vender puntales mensuales. Ejemplo 3: Solución Derivamos la Utilidad para hallar los valores críticos: = 0

Pon a prueba tus conocimientos Resuelve el ejercicio y marca la respuesta correcta Test

Test 2: 14CÁLCULO Alternativas: Ver solución de Test 2 A) B) C) D) q = 600 toneladas q = 560 toneladas q = 436 toneladas q = 200 toneladas

Test 2: Solución 15 CÁLCULO Solución: Respuesta: B) El dominio de la función Ingreso es [0; 5,6] Entonces los valores críticos son: q=2, q=6 = 0 Luego: I(0) = 0 ; I(2)=1,83 ; I(5,6)= 4,36 Por lo tanto, el máximo ingreso se logra con 560 toneladas

Conclusiones Recuerde lo siguiente: Tener presente que este método es para hallar extremos absolutos de funciones en intervalos cerrados. Sólo se consideran los valores críticos que están dentro del intervalo. Al final se evalúa la función en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

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