CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

y x Derivación: Variación de la función cuando varía la variable ( 𝑥 0 +Dx , f( 𝑥 0 +Dx)) La derivada de una función de una variable mide la tasa instantánea de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. f( 𝑥 0 +Dx)-f( 𝑥 0 ) ( 𝑥 0 , f( 𝑥 0 )) Dx x

Diferenciabilidad: Derivadas según un vector

Fijamos el valor de y y observamos el cambio de la función al variar 𝑥.

Calcular las derivadas parciales de la función: 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥 3 𝑦+5 𝑦 2 sin 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =3 𝑥 2 𝑦+5 𝑦 2 𝑧 cos 𝑥𝑧 −𝑦 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑥 3 +10𝑦sin 𝑥𝑧 −𝑥 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 5𝑦 2 𝑧cos 𝑥𝑧 −3𝑥𝑦 𝑧 2 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3

Diferenciabilidad: Interpretación de las derivadas parciales  

Relación continuidad-derivadas parciales No necesariamente es derivable Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=0

Ejemplo de una función continua en (0,0) que no es derivable en (0,0).

Así que la función no es continua en (0,0) y las derivadas parciales existen.

CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

Diferenciabilidad

diferenciable ≡ derivable Diferenciabilidad En la recta real: diferenciable ≡ derivable

Diferenciabilidad: Significado geométrico

Plano tangente 𝑥 0

Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes

NO ES DIFERENCIABLE

Condiciones necesarias y suficientes Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes CONDICION SUFICIENTE CONDICION NECESARIA es diferenciable en y es continua en son continuas en y no es o no es continua en o no es continua en diferenciable en o

CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 54

Vector gradiente

Si disponemos de las derivadas parciales podemos calcular derivadas direccionales (derivadas según vectores unitarios) simplemente multiplicando el gradiente por el vector unitario.

Vector gradiente