RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar f : R  R ; xo R f ´ (xo) = = x puede acercarse a xo ; desde una única dirección (eje x)  “incremento en x” : Δx = x – xo x x x xo informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x  xo NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR f : R2  R ; Po(xo;yo) R2 PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en Po”. O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P(x;y)  Po(xo;yo) . PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠ direcciones Esto impide hallar una “formulación algebraica” para el “incremento en P ”  ¿ ΔP ? yo xo

NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR f : R2  R ; Po(xo;yo) R2 PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en Po” O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P(x;y)  Po(xo;yo) .  PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠s direcciones y sentidos. Esto impide hallar una “formulación algebraica” para el “incremento en P ”  ¿ ΔP ????? yo xo Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en Po) Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “incremento en P ”. Para ello vamos a hacer que P  Po , según una “dirección” prefijada ; la cual damos a través de “un vector” 

NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR f : R2  R ; Po(xo;yo) R2 yo  PROB. 2  formulación alg. del “incremento en P ”. Consideramos P  Po , según una “dirección” prefijada, la cual damos a través de “un vector”  Hablamos así de “derivada direccional de f ”. xo Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de  Dū f (xo;yo)

z = f ( x; y) ; Po(xo; yo)  R2 ; P (x; y)E(Po)  versor de dirección Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de  Dū f (xo;yo) z = f ( x; y) ; Po(xo; yo)  R2 ; P (x; y)E(Po)  versor de dirección r ) yo r ¿ΔP? P(x; y) xo

xo yo Si λ 0 entonces P  Po sobre r ; obtenemos así la derivada de f en Po pero, en la dirección de ū.

RESUMEN: yo xo P(x ; y) r

y sentido de

 Luego: P

Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; Po (2;1)  f (2; 1) = 4 Dū f (2; 1) = Dū f (2; 1) = = = = = =

r

y sentido y sentido

Qo Cx Tx Δz λ Q s r

Luego : r g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo ) g (xo ) = f ( xo ; yo )



RESUMEN:

   

 (y = 1)  (y = 1) 4 Cy : z = 2 – x2 ( y = 1) S = mTy z* z Ty  mTy = fx (1; 1)= -2  (y = 1) 4 Cy : z = 2 – x2 ( y = 1) S Cy 2 1 x* z*  (y = 1) Qo(1;1;1) y x x*

V = f ( p; T ) V = f ( p; T ) V = f ( 5; 300 ) (5 ; 300 ) = 16.41 (cm3/K) (5 ; 300 ) = - 984.72 (cm3 /atm.)

(5; 300) (6; 300) V V = f ( p ; 300) V = 4923.6 (cm3) V  3923.6 (cm3) V = f ( p; T ) V = f ( 5; 300 ) V p T V = f ( p ; 300) V = 4923.6 (cm3) V  3923.6 (cm3) 300 5 6 (5; 300) (6; 300) (T = 300)

( fy)y fy y f22

SON IGUALES !!!!

f (x; y) = ho g (x; y)  f : R2 R f = ho g REGLA DE LA CADENA : g: R2  R ; h: R  R (x;y) z = g(x;y) z  u=h(z) f (x; y) = ho g (x; y)  f : R2 R (x;y)  u = ho g (x;y) h´(g(x;y)) . h´(g(x;y)) . g (x;y) h u=h(z) Z=g(x;y) f u= h(z) = sen z g(x; y) = u= hog (x;y)