POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

2 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
U. D * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. PASOS A TENER EN CUENTA 1.‑ Extraer factor común, reduciendo el polinomio a factorizar. P(x) = x3 – 9.x = x.(x2 – 9) Finalmente: P(x) = x.(x + 3).(x – 3) 2.‑ Ordenarlo de forma decreciente. P(x) = 4 – x3 – 9.x = – x3 – 9.x + 4 Imprescindible para poder aplicar Ruffini. 3.- Utilizar las identidades notables. P(x) = 4.x2 – 9 = (2.x – 3).(2.x + 3) Finalmente: P(x) = 4.(x + 3/2).(x – 3/2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

4 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
4.‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. P(x) = x3 – 9 PRE = {-1, +1, -3, +3, -9, +9}, los divisores de 9 en este caso. P(-1)= …, P(1)= …, P(-3)= … 5.‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. P(x) = x3 – 5.x x + 9 P(x) = (x – 3). (x – 3). (x + 1) Q(x) = x3 – 3.x x – 1 Q(x) = (x – 1). (x – 1). (x – 1) 6.‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces no enteras (racionales e irracionales) si las hubiera. P(x) = (x – 2).(x + 3).(x2 – 2) Aplicamos la fórmula para resolver x2 – 2 = 0 y obtenemos las dos raíces que nos faltan que resultan ser irracionales (√2 y – √2). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
7.‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. Si P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz, un valor der x que hace que el valor del polinomio sea cero. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean enteras; habrá que hallarlas entonces por aproximación. P(x) = x3 – 5  No hay raíces enteras. P(1) = – 4 , P(2) = 3  Entre x=1 y x= 2 hay una raíz. 8.‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = k.(x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...., siendo a, b, c, d, ... las raíces halladas. P(x) = 2.(x – 2).(x + 3)2 .(x + 3/2).(x + √2). (x – √2) Como se ve puede haber raíces fraccionarias (– 3/2), irracionales (√2, –√2), raíces que se repiten (– 3), enteras (2) y algún factor constante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

6 CASOS A CONSIDERAR ( I ) Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.- Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x3 + b. x2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x2 + b. x + c ) Ejemplos 1.- P(x) = 3.x x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x ) 2.- P(x) = 2.x x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x x ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

7 CASOS A CONSIDERAR ( II )
2.- Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x2 + 2.x.y + y2 = ( x + y )2 = ( x + y ) ( x + y ) x2 - 8.x = ( x - 4 )2 = ( x - 4 ) ( x - 4 ) x2 / 4 – 9 = (x/2 + 3 ) . ( x/2 – 3 ) x3+ 6.x x + 8 = ( x + 2 )3 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) x x2 = ( x2 + √3.x) ( x2 – √3.x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

8 CASOS A CONSIDERAR ( y III )
3.- Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x x2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado. Pero como ( x2 – 2.x + 1) = (x – 1) .(x – 1) Quedaría mejor x x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x - 1).( x - 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

9 Ecuaciones BICUADRADAS
ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: Pero, como cualquier otra ecuación polinómica, podemos hallar sus soluciones sabiendo que son las raíces de su polinomio característico. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

10 Ejemplo 1 Resuelve la ecuación x x = 0 Polinomio característico: P(x) = x x2 + 36 Buscamos sus cuatro raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 2, –2, 3, –3, 4, – 4, 6, –6, 9, –9, 12, –12, 18, –18, 36, –36 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – = 24 <> 0  El 1 no es raíz de P(x) P(-1) = 1 – = 24 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(2) = 16 – = 0  El 2 es raíz de P(x) P(-2) = 16 – = 0  El -2 es raíz de P(x) P(3) = 81 – = 0  El 3 es raíz de P(x) P(-3) = 81 – = 0  El -3 es raíz de P(x) Ya hemos hallado las cuatro raíces del polinomio. Son las cuatro soluciones de la ecuación. x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 , x4 = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

11 Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0
Polinomio característico: P(x) = 3.x x2 - 25 Buscamos sus cuatro raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 5, – 5, 25, –25 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 3 – 74 – 25 = – 96 <> 0  El 1 no es raíz de P(x) P(-1) = 3 – 74 – 25 = – 96 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(5) = 1875 – 1850 – 25 = 0  El 5 es raíz de P(x) P(-5) = 1875 – 1850 – 25 = 0  El -5 es raíz de P(x) Por el Teorema del Factor: P(x) = (x – 5 )·(x + 5)· C(x) Hallamos el cociente C(x) aplicando Ruffini: Para ello divido P(x) entre (x – 5) Y después divido el cociente obtenido entre (x + 5) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

12 …Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0
Divido por Ruffini: – – 25 – – – 5 El cociente obtenido es: C(x) = 3.x2 + 1 Igualo a cero y resuelvo: 3.x2 + 1 = 0  3.x2 = – 1  x2 = – 1/3  x = √ – 1/3 No hay ningún valor de x tal que C(x) = 0 Las dos soluciones reales de la ecuación son: x1 = 5 , x2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

13 Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x6 - 9.x3 + 8 = 0
Polinomio característico: P(x) = x x3 + 8 Buscamos sus seis raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 2, – 2, 4, –4, 8, –8 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – = 0  El 1 es raíz de P(x) P(-1) = = 18 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(2) = 64 – = 0  El 2 es raíz de P(x) P(-2) = = 144 <> 0  El -2 no es raíz de P(x) P(4) = 4096 – = 3528 <> 0  El 4 no es raíz de P(x) Ni el – 4 ni el – 8 pueden serlo por dar todos los sumandos positivos. P(8) = – = <> 0  El 8 no es raíz de P(x) Las dos soluciones reales de la ecuación son: x1 = 1 , x2 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.