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Publicada porJosé Carlos Palma Santos Modificado hace 8 años
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f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x x o RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar xoxo yoyo f : R 2 R ; P o ( x o ;y o ) R 2 PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en P o ”. O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P( x;y ) P o ( x o ;y o ). PROBLEMA 2: P puede acercarse a P o desde ≠ direcciones Esto impide hallar una “ formulación algebraica ” para el “ incremento en P ” ¿ ΔP ? NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR x x
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f : R 2 R ; P o ( x o ;y o ) R 2 PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en P o ” O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P( x;y ) P o ( x o ;y o ). PROBLEMA 2: P puede acercarse a P o desde ≠ s direcciones Esto impide hallar una “ formulación algebraica ” para el “ incremento en P ” ¿ ΔP ????? NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR xoxo yoyo Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en P o ) Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “ incremento en P ”. Para ello vamos a hacer que P P o, según una “dirección” prefijada ; la cual damos a través de “un vector”
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f : R 2 R ; P o ( x o ;y o ) R 2 NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR PROB. 2 formulación alg. del “ incremento en P ”. Consideramos P P o, según una “dirección” prefijada la cual damos a través de “un vector” Hablamos así de “derivada direccional de f ”. yoyo Derivada direccional de f en P o ( x o ;y o ), en la dirección de D ū f ( x o ;y o ) xoxo
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z = f ( x; y) ; P o ( x o ; y o ) R 2 ; P ( x; y ) E( P o ) versor de dirección r ) yoyo Derivada direccional de f en P o ( x o ;y o ), en la dirección de D ū f ( x o ;y o ) xoxo ¿ΔP? r P (x; y)
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Si λ 0 entonces P P o sobre r ; obtenemos así la derivada de f en P o pero, en la dirección de ū. x o y o
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Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; P o (2;1) f (2; 1) = 4 ū = ( 4; 3 ) ū o = ( 4/5; 3/5 ) D ū f (2; 1) = D ū f (2; 1) = = = = = =
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P Luego:
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r
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r QoQo Q CxCx s λ ΔzΔz TxTx
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RESUMEN: yoyo xoxo r P (x ; y)
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RESUMEN:
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g (x o + λ ) = f (x o + λ ; y o ) g (x o ) = f ( x o ; y o ) r Luego :
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C y : z = 2 – x 2 ( y = 1) S Q o ( 1;1;1 ) TyTy m T y = f x (1; 1)= - 2 x y z 4 x*x* z*z* CyCy 2 1 1 x*x* z*z* ( y = 1) = m T y
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(5 ; 300 ) = - 984.72 (cm 3 /atm.) (5 ; 300 ) = 16.41 (cm 3 /K) V = f ( p; T ) V = f ( 5; 300 ) V = f ( p ; T )
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V = f ( 5; 300 ) V p T V = f ( p ; 300) V = f ( p; T ) ( 5; 300 ) 300 5 ( 6; 300 ) 6 (T = 300) V = 4923.6 (cm 3 ) V 3923.6 (cm 3 )
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( fy)y( fy)y f y y f 22
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SON IGUALES !!!!
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REGLA DE LA CADENA : g : R 2 R ; h : R R ( x;y ) z = g ( x;y ) z u = h (z) f (x; y) = h o g ( x; y ) f : R 2 R (x;y) u = h o g ( x;y ) h ´ ( g ( x;y ) ). h ´ ( g ( x;y ) ). ( x;y ) Z = g ( x;y ) u=h (z) g h f u= h (z) = sen z g (x; y) = u = h o g (x;y) f = h o g
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