@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 3 * 4º ESO E. AC. POLINOMIOS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 3 * 4º ESO E. AC. POLINOMIOS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 3.7 * 4º ESO E. AC. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. PASOS A TENER EN CUENTA 1. ‑ Extraer factor común, reduciendo el polinomio a factorizar. P(x) = x 3 – 9.x = x.(x 2 – 9) Finalmente: P(x) = x.(x + 3).(x – 3) 2. ‑ Ordenarlo de forma decreciente. P(x) = 4 – x 3 – 9.x = – x 3 – 9.x + 4 Imprescindible para poder aplicar Ruffini. 3.-Utilizar las identidades notables. P(x) = 4.x 2 – 9 = (2.x – 3).(2.x + 3) Finalmente: P(x) = 4.(x + 3/2).(x – 3/2) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 4. ‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. P(x) = x 3 – 9 PRE = {-1, +1, -3, +3, -9, +9}, los divisores de 9 en este caso. P(-1)= …, P(1)= …, P(-3)= … 5. ‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. P(x) = x 3 – 5.x 2 + 3.x + 9 P(x) = (x – 3). (x – 3). (x + 1) Q(x) = x 3 – 3.x 2 + 3.x – 1 Q(x) = (x – 1). (x – 1). (x – 1) 6. ‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces no enteras (racionales e irracionales) si las hubiera. P(x) = (x – 2).(x + 3).(x 2 – 2) Aplicamos la fórmula para resolver x 2 – 2 = 0 y obtenemos las dos raíces que nos faltan que resultan ser irracionales (√2 y – √2). FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 7. ‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. Si P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz, un valor der x que hace que el valor del polinomio sea cero. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean enteras; habrá que hallarlas entonces por aproximación. P(x) = x 3 – 5  No hay raíces enteras. P(1) = – 4, P(2) = 3  Entre x=1 y x= 2 hay una raíz. 8. ‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = k.(x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...., siendo a, b, c, d,... las raíces halladas. P(x) = 2.(x – 2).(x + 3) 2.(x + 3/2).(x + √2). (x – √2) Como se ve puede haber raíces fraccionarias (– 3/2), irracionales (√2, –√2), raíces que se repiten (– 3), enteras (2) y algún factor constante. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 CASOS A CONSIDERAR ( I ) Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.-Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x 3 + b. x 2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x 2 + b. x + c ) Ejemplos 1.-P(x) = 3.x 3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x 2 + 4 ) 2.-P(x) = 2.x 4 - 3.x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x 3 - 3.x )

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 2.-Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x 2 + 2.x.y + y 2 = ( x + y ) 2 = ( x + y ) ( x + y ) x 2 - 8.x + 4 = ( x - 4 ) 2 = ( x - 4 ) ( x - 4 ) x 2 / 4 – 9 = (x/2 + 3 ). ( x/2 – 3 ) x 3 + 6.x 2 + 12.x + 8 = ( x + 2 ) 3 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) x 4 - 3.x 2 = ( x 2 + √3.x) ( x 2 – √3.x) CASOS A CONSIDERAR ( II )

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 3.-Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x), que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x 2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado. Pero como ( x 2 – 2.x + 1) = (x – 1).(x – 1) Quedaría mejor x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x - 1).( x - 1) CASOS A CONSIDERAR ( y III )