Conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales 1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales? 2.- ¿Que es un orden? 3.- ¿A que se le llama grado? 4.- Clasificación y tipos de orden y grado. 5.- Solución. 6.- Solución parcial. 7.- Solución general. 8.- Interpretación geométrica. 9.- Trayectorias ortogonales. 10.- Existencia y unidad. 11.-Campo diferencial.

Las Ecuaciones Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosas cuestiones practicas de ingeniería y ciencias en general, como problemas puramente matemáticos.

Las áreas que mas necesitan las Ecuaciones Diferenciadles : * Ingeniería * Física * Ciencias en general

1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales? Es una ecuación que contiene diferenciales o derivadas, puede ser ordinaria o parcial. Ordinaria: Si hay una sola variable independiente. Ejemplo: dy ----- = x +5 dx Parciales: Si hay dos o mas variables. Ejemplo: dz dz ------ = z + ------ dx dy

2.- ¿Que es un orden? Ejemplo: Es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Ejemplo: * Es de primer orden y´ - 2xy² + 5 = 0 * Es de segundo orden d²y dy --------- + 3 -------- + 2y = 0 dx² dx * Es de tercer orden y´´´ + 2(y´´)² = cos x

3.- ¿A que se le llama grado? Es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Nota: Todos los ejemplos antes mencionados son de primer grado. d²y dy El grado mas alto es: ------------ = ------- d²2y el grado es dx² dx --------- 2º. dx²

4.- Clasificación y tipos de orden y grado 1.- Se llama solución general de una ecuación diferencial del primer orden a la función (contiene todas o casi todas las soluciones). y = φ ( x, C ) 2.- Todas función y = φ (x , C0 ) deducida de la solución general y = φ ( x, C ), dando a la constante C un valor determinado C = C0, , se llama solución particular (solución menos amplia que la solución general) Φ ( x, y, C0 ) = 0

dy x² + 5 5., 6., 7.-Solución ----- = ---------- y (1) = 7 dx y ∫ y dy = ∫ ( x² + 2 ) dx (7)² (1)³ ----- = ------ +2 (1) + C y² x³ 2 3 ----- = ----- + 2x + C 66.5 2 3 C= ------- Solución general 5 y² x³ 66.5 Primero se soluciona la ecuación diferencial ----- = ----- +2x + -------- después se saca el valor de la constante 2 3 5 ( C ), y después se escribe todo completo. Solución particular

8.- Interpretación geométrica Cualquier ecuación diferencial de primer orden y de primer grado se pude escribir así: dy ------- = F ( x, y ) dx Expresión que ase corresponder a cada punto ( x0, y0 ) una línea de pendiente ( dy/dx )0 = F (x0, y0 ). F ( x, y ) = m

9.- Trayectoria ortogonal Una curva C situada en un plano al que pertenece un sistema S de curvas es una Trayectoria ortogonal de S si cada punto de C es un punto donde C encuentra una curva de S bajo Angulo recto, y si cada intersección de C con una curva de S se efectúa ortogonalmente. imagen ortogonal

10.- Existencia y unidad Teoremas I.- una Ecuación Diferencial tiene, en una región S ,una solución única y = φ (x) satisfecha por (x0,y0) con tal de que (x0,y0)sea un punto interior de S y que F (x,y) y یF (x,y)/ یy sean reales, uniformes y continuas en S. Teorema II.- El sistema de Ecuaciones Diferenciales solo tiene una solución única satisfecha por los valores y = y0, z = z0, cuando x = x0, siempre que solamente se consideren los valores de x, y, z que pertenecen a los respectivos intervalos.

11.- Campo diferencial Distintos campos de realizar una ecuación diferencial: Ecuaciones Diferenciales de primer orden de primer grado Ecuaciones de primer orden de grado superior al primero Ecuaciones Diferenciales con coeficiente constante Transformación de Laplace Resoluciones mediante series Resolución numérica Ecuaciones entre derivadas parciales

Referencias bibliografiítas 1.- Ecuaciones Diferenciales Mc Graw Hill L.M.Kells 2.- Calculo diferencial e integral Tomo II. Mir Moscú N.Piskunov 3.- Ecuaciones Diferenciales Frank Ayres,Jr.

Esta presentación fue elaborada por: Estudiante del Ceti colomos Emmanuel Sánchez Solís Reg.:9110241