CLASE 19 PARTE 1: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Enunciado. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería.

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1 CLASE 19 PARTE 1: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Enunciado. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33.

2 Sea, donde D es abierto, a es un punto de D, y sea. Para todo punto se cumple: TEOREMA. Desarrollo de Taylor en varias variables. Si f es de clase entonces:

3 DEFINICIÓN. Polinomio de Taylor de grado de f(p) en torno de p=a es: Por el teorema de desarrollo de Taylor: es el error cometido al sustituir f(p) por el polinomio de Taylor. Es un infinitésimode orden mayor que

4 FÓRMULA DE LAGRANGE PARA EL RESTO. Vale para funciones reales.

5 CASO PARTICULAR: Función real de dos variables reales

6 CLASE 19 PARTE 2: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Ejemplo. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33.

7 EJEMPLO. Hallar el polinomio de Taylor hasta grado 3 en torno de (0,0) de la función

8 OTRA FORMA. La serie geométrica de razón u es: Integrando en v para v en el intervalo [0,1]

9 Teníamos: Por otro lado: sigue

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11 CLASE 19 PARTE 3: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Demostración. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33.

12 Dem. del desarrollo de Taylor para varias variables. Sea fijo un punto Definimos la siguiente función auxiliar en una sola variable real t, y calculamos sus derivadas sigue (1)

13 Aplicando el desarrollo de Taylor de en una sola variable t: Dado llamemos sigue (1)

14 A probar que Fórmula de Lagrange, que probamos después para el resto de cada una de las coordenadas de f

15 Teníamos:

16 Dem. Fórmula de Lagrange para el resto en varias variables.