Unidad 4 Anexo 3. Capítulo IV. Teoría de las ecuaciones homogéneas.

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1 Unidad 4 Anexo 3. Capítulo IV. Teoría de las ecuaciones homogéneas.

2 U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría.
De acuerdo con el siguiente teorema, el principio de superposición para ecuaciones lineales homogéneas de 2° orden es aplicable a las de cualquier orden; es decir: i) si una función es una solución de una ecuación lineal homogénea, un múltiplo constante de dicha solución también lo es y ii) si dos funciones son soluciones de una ecuación lineal homogénea, su suma también es una solución de la ecuación diferencial.

3 entonces la combinación lineal:
U-4.A-3. Cap. IV Ecuaciones homogéneas: Teoría. Principio de superposición: Si y1, y2¸ , yn son n soluciones de una ecuación lineal homogénea: entonces la combinación lineal: donde C1, C2, , Cn son constantes arbitrarias, también es una solución de esta ecuación. Este principio aplica solamente a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

4 U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría.
La identidad de Abel también aplica a ecuaciones lineales homogéneas de orden superior y puede generalizarse de acuerdo con el siguiente teorema: Identidad de Abel: Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n: con coeficientes continuos en el intervalo x1 < x < x2, y sean y1, y2, , yn sus n soluciones en el intervalo. Entonces el wronskiano de y1, y2, , yn o es siempre cero o nunca es cero.

5 U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría.
El wronskiano de las n soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n con coeficientes continuos puede expresarse en la forma: y el teorema indica que no puede ser cero para algunas x y no cero para otras, cuando los coeficientes P1, P2, de la ecuación lineal homogénea son continuos. Si W(y1, y2, … , yn ) ≠ 0 en x0, entonces lo es para toda x, por lo que las funciones y1, y2, , yn son linealmente independientes en ese intervalo.

6 La ecuación lineal homogénea de orden n:
U-4.A-3. Cap. IV Ecuaciones homogéneas: Teoría. Así, puede establecerse el teorema fundamental de la ecuación general lineal homogénea en la forma: La ecuación lineal homogénea de orden n: con coeficientes continuos en un intervalo x1 < x < x2 tiene n soluciones linealmente independientes en ese intervalo. La solución general de esta ecuación diferencial puede expresarse en forma única como la combinación lineal de las n soluciones en la forma:

7 U-4.A-3. Cap. IV. Ecuaciones homogéneas: Teoría.
La expresión y = C1y1 + C2y2 + ··· +Cnyn contiene todas las soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo específico. El conjunto {y1, y2, , yn} se conoce como conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo. El teorema asegura la existencia de n soluciones y que sólo n soluciones pueden ser linealmente independientes. Entonces, resolver una ecuación lineal homogénea de orden n es equivalente a encontrar sus n soluciones linealmente independientes.