SERIES DE FOURIER UNIDAD V MATEMATICAS V.

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1 SERIES DE FOURIER UNIDAD V MATEMATICAS V

2 Contenido Condiciones de Geometría Funciones Periódicas
Introducción a las Series de Fourier Condiciones de Geometría Funciones Periódicas Calculo de los Coeficientes de Fourier Calculo de Series de Fourier Forma Compleja de las Serie de Fourier

3 INTRODUCCION A LA SERIE DE FOURIER
Es aquella que se puede escribir en términos de senos y cosenos. Una función periódica se puede definir como: Para todo valor de t. La constante T que satisface la relación se le llama periodo de la función:

4 Una vez determinada que la función es periódica la Serie de Fourier se define como:
Donde: Son los coeficientes de Fourier. Estos se determinan con la solución de las siguientes integrales

5 Estos se determinan con la solución de las siguientes integrales
Donde:

6 FUNCIONES PERIODICAS Como anteriormente se ha mencionado, una función periódicas se puede definir como una función para la cual: Para todo valor de t . La constante mínima T que satisface a la relación anterior se llama el periodo de la función. Y se obtiene:

7 Encontrar el periodo de la función
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de (1.1) se tiene Puesto que cos (θ + 2πn) = cos (θ) para cualquier entero m se tiene que

8 En general, si la función:
Donde m y n son enteros. Por consiguiente T=6πm=8πn; cuando m=4 y n=3, se obtiene el mínimo valor de T. En general, si la función: Es periódica con periodo T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que: El cociente de la relación anterior es: Es decir, la relación debe ser un numero racional.

9 Algunos Ejemplos Encontrar el periodo de la función f(t) = (10 cos t)² Si aplicamos la identidad trigonometrica se tiene Puesto que un a constante es una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, y el periodo de cos 2t es π, se concluye que el periodo de f(t) es π.

10 CONDICIONES DE SIMETRIA Funciones pares e impares
Antes de calcular las series de Fourier se deben tener en cuenta las siguientes condiciones de simetría: Funciones pares e impares Par. Es aquella función que tiene simetría respecto al eje vertical Alguna de sus propiedades son:

11 Ejemplos de funciones pares son:

12 Impar. Son simétricas respecto al origen

13 Integración de funciones pares e impares
Para una función par Ejemplo:

14 Para una función impar:
Todas las funciones se pueden representar como la suma de una función par mas una impar.

15 Demostración

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17 Ejemplo: Encontrar los componentes de la siguiente función: Nota: Se sustituye –t en t .

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19 Simetría de Media Onda:
Otras de las condiciones de simetría son: Simetría de Media Onda: Si f(t) es periódica: Tendrá un asimetría de media onda si cumple lo siguiente: Interpretación geométrica

20 Simetría de Cuarto de Onda
Si f(t) es periódica , tendrá simetría de cuarto de onda, si y solo si, cumple: Tiene simetría de media onda Que sea par o impar

21 CALCULO DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER
A partir de las condiciones de simetría y la introducciones a las serie de Fourier se hará mas fácil calcular lo Coeficientes de Fourier a partir de la tabla que se formulara a partir de las siguientes condiciones.

22 Para una función Par La condición para un a función par como se veía en uno de lo temas anteriores es Y la Serie de Fourier se define como El segundo coeficiente de la serie de Fourier es impar por lo tanto vale 0. y la Forma de la Serie de Fourier se reduce a:

23 De tal forma que si es par el coeficiente se calculara
Ya que la integración de una función par es dos veces la integral definida de 0 a limite superior

24 Para una función Impar Aquí la condición es
Por lo tanto los primeros dos coeficientes de Fourier, como son funciones pares , valen 0, por lo tanto se deduce de la Serie de Fourier para una función impar es: El coeficiente de Fourier se calcula mediante la forma:

25 Para una función con simetría de media onda
La condición para la cual una función se considera una función con simetría de media onda es El calculo de los coeficientes de Fourier suponiendo una simetría de media onda:

26 Haciendo Cambio de Variable en la primera integral
Cambiando lo limites sustituyendo el valor de t

27 Utilizando el hecho que

28 Existe la propiedad

29 Por lo tanto solo tendrá armónicos (an,bn) impares
De esta comprobación se deduce Por lo tanto solo tendrá armónicos (an,bn) impares

30 FORMA DE LA SERIE DE FOURIER FORM DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER
TIPO DE SIMETRIA CONDICION FORMA DE LA SERIE DE FOURIER FORM DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER Par Impar De Media Onda ¼ de Onda Par 174 de Onda Impar

31 CALCULO DE SERIES DE FOURIER
Para el calculo de Series de Fourier se determinaran los siguientes pasos: Determinar la simetría Se determina la forma de lo coeficientes y la Serie de Fourier según la tabla. Calcular los coeficientes. La ecuación o ecuaciones de recurrencia Se calcula los coeficientes Se escribe la Serie de Fourier

32 Calcular la Serie de Fourier de la siguiente Función
Tipo de Simetría

33 La onda tiene una simetría de cuarto de onda par.
Los coeficientes tiene un solo armónico impar

34 n a(2n-1) 1 2 3 4 5 6

35 Por lo tanto la Serie de Fourier :

36 Calcular la Serie de Fourier de la siguiente función
Si se desplaza la grafica en el eje vertical

37 La función f(t) Simetría impar Simetría de media onda Si

38 Por lo tanto Resolviendo la segunda integral

39 Sustituyendo en el valor de bn
Aplicando limites

40 FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER
Sea f(t) una función periódica cuya Serie de Fourier es identidades de Euler

41 Aplicando las identidades de Euler en la Serie de Fourier
Donde los coeficiente complejos de Fourier son:

42 Simplificación de la Serie compleja de Fourier
Calculando a Co

43 Calculando a Cn

44 Calcular la Serie Compleja de Fourier de la siguiente función

45 Por lo tanto

46 Integrando por partes

47 La Serie compleja de Fourier para f(t)