Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
Curso Propedéutico Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica: Opciones sistemas Eléctricos y Sistemas de Control Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH
Contenido Ecuaciones diferenciales de primer orden Solución geométrica Métodos de solución analítica Variables separadas Variables separables Homogéneas Lineales Ecuación de Bernoulli Ecuación de Riccati Ec. Dif. Exacta Factor integrante Teorema de existencia y unicidad Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1 Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Introducción ¿Qué es una ecuación diferencial? Ö Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplos de ecuaciones diferenciales
1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la figura to R C v(t) + - Vs(t) Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta Donde K es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del material Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

3) El movimiento de un péndulo simple está gobernado por la ecuación Donde m Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

4) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva que refleja en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen cumplen con x y Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Otros Ejemplos: Ecuación lineal de primer orden: Ecuación de Riccati: Por ejemplo: Ecuación de Van der Pol: Segunda Ley de Newton: Etc… Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Clasificación General
Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Cuando no contiene derivadas parciales. En general tiene la forma: F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0 Establece la dependencia de la variable y respecto a una sola variable independiente x. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ecuación diferencial Parcial (EDP). Cuando contiene derivadas parciales. En este caso representa la dependencia de una variable respecto a varias variables independientes. Por ejemplo, la siguiente ecuación describe la dependencia de r respecto de x, y y z. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

EDO de orden n.- El orden de derivación más alto que aparece en la ecuación es n. EDO de primer orden.- Cuando n=1. En este caso, la forma general es F(x,y,y’)=0 A la forma y’=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. Ejemplo: la ecuación de Riccati es de segundo grado, pero de primer orden Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

EDO Lineal. Es una ODE que se puede escribir en la forma: Donde los coeficientes a0(x),...,an(x), f(x) son funciones de x. De lo contrario se dice No Lineal. Lineal Homogénea.- El término independiente f(x) es nulo. Lineal con coeficientes constantes.- Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes. Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplos: ¿Lineales o No lineales? 1) 2) 3) 4) 5) 6) Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones son soluciones de la ecuación del ejemplo (4). La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Solución de una ED Familia de funciones dadas por: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -8 -6 6 8 10 y x Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Solución de una ED Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ? c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes temperaturas iniciales T0 de la taza de café. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

La ED como Campo Vectorial
La ecuación diferencial de primer orden resuelta respecto a la derivada: establece una dependencia entre las coordenadas (x,y) de un punto y la pendiente de la curva solución y(x) que pasa por ese punto. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: la ecuación nos dice que a lo largo de la curva x2 + y2 = 1, las curvas solución de la ecuación tienen pendiente 1, es decir, cruzan la circunferencia de radio 1 con un ángulo de 45°. Ver la figura siguiente Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

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Método de las Isoclinas
Dando valores constantes K a la derivada, podemos encontrar las curvas f(x,y)= K en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación. A estas curvas se les llama isoclinas. Para el ejemplo corresponden a x2+y2=K, son circunferencias de radio y centro en el origen. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Las isoclinas facilitan el trazado del campo de direcciones y por lo tanto el de las soluciones de la ED. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Tarea: a) Encontrar la ecuación de las isoclinas para la ecuación diferencial b) ¿Qué tipo de curvas son estas isoclinas? c) Dibujar las isoclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Métodos de Solución Analítica
NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica. Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver. Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Si no funciona lo anterior, algunas alternativas consisten en buscar soluciones: Basadas en Series Numéricas Geométricas Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x2+y2 = c2 Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial es función de una combinación lineal de x e y: Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: La ecuación Se puede reescribir como Donde z=x+y. Integrando se obtiene Regresando a las variables originales: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED Homogéneas de 1er orden
Las ED de la forma Se denominan Homogéneas. Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierten a la siguiente ED de variables separables: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado k si f(tx,ty)=tk f(x,y) Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3 Si f(x,y) es homogénea de grado cero entonces Entonces, la ED es Homogénea si f(x,y) es homogénea de grado cero. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: La función Es homogénea de grado cero y se puede escribir como: Por lo tanto la ED Se puede transformar en la ED con variables separables Donde z=y/x. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Las ED de la forma donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son constantes Se convierten a homogéneas haciendo el cambio X=x-x0, Y=y-y0 donde (x0,y0) es el punto de intersección de las rectas a1x+ b1y+ c1=0 y a2x + b2y + c2=0. Ejemplo: La ED Haciendo el cambio X=x-1, Y=y-1 se convierte en la ED homogénea Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED Lineales de 1er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x). Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED Lineales de 1er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1, se obtiene: Por lo tanto Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED de Bernoulli La ED de la forma Se denomina Ecuación de Bernoulli. Introduciendo el cambio de variable La ecuación de Bernoulli se transforma en La cual es una ED lineal. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED de Riccati La ED de la forma Se denomina Ecuación de Riccati. Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de Bernoulli si se conoce una solución particular y1(x). mediante el cambio de variable y=y1+z. La ecuación de Riccati se transforma en La cual es una ED de Bernoulli. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED de Riccati Ejemplo: La ecuación Es una ED de Riccati, la cual tiene la solución particular Haciendo el cambio y=y1+z, obtenemos La cual es de Bernoulli. Haciendo ahora el cambio u=z-1, obtenemos: La cual es lineal. La solución de la homogénea es , variando el parámetro c: De donde por lo tanto Entonces Finalmente, en las variables originales Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED exactas La ecuación de la forma tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: y se puede determinar c(y) derivando Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED exactas Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Factor Integrante En algunas ocasiones es posible multiplicar la ecuación por un factor m(x,y), de manera que se convierta en una diferencial exacta, es decir, de manera que Entonces se dice que es m(x,y) un factor integrante. La condición de Euler toma la forma: De donde Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Factor Integrante La anterior es una EDP más difícil de resolver que la ED original. Solo en algunos casos se simplifica: Caso m=m(x).- En este caso la EDP toma la forma Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de x Caso m=m(y).- En este caso Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de y Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Factor Integrante Ejemplo: Para la siguiente ED Entonces Por lo tanto Así obtenemos la ecuación diferencial exacta: Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Factor Integrante Tarea: Demostrar que en efecto Es una ED exacta y obtener su solución general. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Teorema de existencia y unicidad
Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes de intentar la solución de una ED es preguntarse primero si existe la solución y en caso de existir, si esta es única. La respuesta la da el siguiente teorema: ¿Siempre existe solución y es única? Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Si en la ED , se cumplen las condiciones: 1) (Existencia): f(x,y) es continua en un rectángulo D centrado en (x0,y0). 2) (Unicidad): En este rectángulo satisface la Condición de Lipschitz para un L finito: Entonces existe una solución única y=f(x) de la ED dentro de un rectángulo D1Ì D centrado en (x0,y0): que satisface la condición inicial y(x0)=y0 Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

La condición de Lipschitz se puede sustituir por otra condición más burda, pero más fácil de verificar: Que exista la derivada en el rectángulo D. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: La siguiente ED Cumple con la condición de existencia en todo el plano Â2 , sin embargo, si checamos la condición de Lipschitz Se cumple en todo el plano Â2, excepto en la recta solución y=0, sobre la cual existe otra solución. Tarea: Encontrar las otras soluciones que tocan a la recta y=0 en cada punto de ella. Representarlas en una gráfica. Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: Método de las Isoclinas
Ejercicios Ejemplo: Método de las Isoclinas Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: Convertir a variables separables
Ejercicios Ejemplo: Convertir a variables separables Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: ¿Qué tipo de ED son las siguientes? Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

Ejemplo: ¿Son ED exactas? Propedeutico Maestría DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

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