Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 5 * 2º ESO EXPRESIÓN ALGEBRAICA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 5.5 * 2º ESO PRODUCTOS NOTABLES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO IDENTIDADES FÓRMULA Es una expresión algebraica mediante la cual se obtienen valores de la misma para diferentes valores de la variable o variables. P = 4.x  Para x = 3  P = 4.3  P = 12 S = x2 – 4  Para x = 5  S = 52 – 4  S = 25 – 4 = 21 ECUACIÓN Es una igualdad algebraica que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4  Sólo para x = 2 x2 = 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2 IDENTIDAD Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la incógnita o incógnitas: x = x (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 (x + 3)2 = x2 + 6.x + 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO PRODUCTOS NOTABLES Hay identidades que son muy importantes en matemáticas. Se llaman productos notables por su forma. Los más frecuentes son tres: ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 ( x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 Veamos algunos ejemplos de verificación: ( 3 + 2 )2 = 32 + 2.3.2 + 22  52 = 9 + 12 + 4  25 = 25 ( 4 + 5 )2 = 42 + 2.4.5 + 52  92 = 16 + 40 + 25  81 = 81 ( 7 + 1 )2 = 72 + 2.7.1 + 12  82 = 49 + 14 + 1  64 = 64 Con otro producto notable: ( 3 – 2 )2 = 32 – 2.3.2 + 22  12 = 9 – 12 + 4  1 = 13 – 12  1 = 1 ( 5 – 3 )2 = 52 – 2.5.3 + 32  22 = 25 – 30 + 9  4 = 34 – 30  4 = 4 ( 2 – 7 )2 = 22 – 2.2.7 + 72  (– 5)2 = 4 – 28 + 49  25 = 53 – 28  25=25 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes de Matemáticas 1º ESO PRODUCTOS NOTABLES Con el tercer producto notable: ( 3 + 2 ).( 3 – 2 ) = 32 – 22  5.1 = 9 – 4  5 = 5 ( 5 + 3 ).( 5 – 3 ) = 52 – 32  8.2 = 25 – 9  16 = 16 ( 5 + 8 ).( 5 – 8 ) = 52 – 82  13.(– 3) = 25 – 64  – 39 = – 39 Vemos que, cualquiera que sea el valor de x y de y, siempre se cumplen. Resumiendo las tres identidades notables: El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números más el doble de su producto. ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números menos el doble de su producto. ( x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia de cuadrados de dichos números. ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Demostración ( x + y )2 = = (x + y).(x + y) = = x2 + x.y + y.x + y2 = = x2 +2.x.y + y2 ( x – y )2 = = (x – y).(x – y) = = x2 – x.y – y.x + y2 = = x2 – 2.x.y + y2 ( x + y ).( x – y ) = = x2 + x.y – y.x – y2 = = x2 – y2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJERCICIOS PARA CALCULAR ( I ) ( x + 5 )2 = ( 2x - y )2 = ( 3 + y ) . ( 3 – y ) = ( x + 4 )3 = ( 5 - 2y )3 = ( 3x + √5 )2 = ( x/2 – 2/x )2 = ( √3 + y ) . ( y – √3 ) = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJERCICIOS PARA CALCULAR ( y II ) ( - x + 5 )3 = ( - 2a - b )2 = ( - 3 + a/2 ) . ( - 3 – a/2 ) = ( 1/x – 5)3 = ( 5 – x + y )2 = ( 3 + x – √5 )2 = ( – a/4 – 2/a )2 = ( √3 + √5 ) . (√5 – √3 ) = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1º CASO.- Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x3 + b. x2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x2 + b. x + c ) Ejemplos 1.- P(x) = 3.x2 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x + 4 ) 2.- P(x) = 2.x2 - 3.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x - 3 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO 3.- P(x) = 3.x3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x2 + 4 ) 4.- P(x) = 2.x4 - 3.x2  Extraemos factor común a x2 P(x) = x2.(2.x2 - 3 ) 2º CASO.- Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x2 + 4.x + 4 = ( x + 2 )2 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) x2 - 6.x + 9 = ( x - 3 )2 = ( x - 3 ) ( x - 3 ) x2 – 16 = (x + 4 ) . ( x – 4 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Más ejemplos x2 + 10.x + 25 = ( x + 5 )2 = ( x + 5 ) ( x + 5 ) 9.x2 - 72.x + 144 = ( 3.x - 12 )2 = ( 3.x - 12 ) ( 3.x - 12 ) 64 – 4.x2 = (8 – 2.x ) . (8 + 2.x) 3º CASO.- Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. ESTE CASO SE ESTUDIA A PARTIR DE 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJERCICIOS PARA CALCULAR ( III ) x2 - 8.x + 16 = 25 + 10.a + a2 = 9 - 4.x2 = x4 – 14.x2 + 49 = 25 – a2.b2 = 32.x + x2 + 16 = 25 + y2 + 10.x = 9 – 6.x + x2 = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJERCICIOS PARA CALCULAR ( y IV ) x2 - 16.x + 64 = 25 – 10.z + z2 = 4.x2 – 9 = x4 + 49 – 14.x2 = 5 – a2 = – 32.x + x2 + 16 = – 25 – y2 + 10.x = – 3 – 2.√3.x – x2 = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO