MATEMATICA I.

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1 MATEMATICA I

2 CONTENIDOS PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACION EJ DE PROD. NOT Y FACT

3 OBJETIVOS Identificar casos de productos notables de expresiones algebraicas Determinar productos notables por simple inspección Factorizar expresiones algebraicas de los casos más usuales

4 Productos Notables Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

5 1) CUADRADO DE UNA SUMA (DIFERENCIA) DE DOS TÉRMINOS O CANTIDADES:
(a+b) 2 = a2 + 2ab + b2 (a-b) 2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplos: (x+2)2 = x2 +2(x)(2)+(2)2= x2+4x+4 (2a-1)2 =( 2a)2 - (2)(2a)(1)+(1)2= 4a2-4a+1 (2m+4n)2 =( 2m)2 + (2)(2m)(4n)+(4n)2= 4m2+16mn+16n2

6 2) PRODUCTO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA (SUMA POR DIFERENCIA):
(a + b)(a - b) = a2 – b2 Ejemplos: (b+1) (b-1) = (b)2 –(1)2 = b2-1 (2x+3y) (2x-3y) = (2x)2 –(3y)2 = 4x2-9y2

7 3) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN:
(x +b)(x+d) = x2 +(b+d)x+ b.d EJEMPLOS: (x + 3 ) ( x + 2 ) = x2 +( 3+2) x = x2 + 5x + 6 (a + 8 ) ( a – 7 ) = a2 + (8 – 7 ) x + 8(-7) = a2 + a – 56 (p – 9) ( p – 12) = p2 + (-9+(–12))p +(-9)(-12) = p2– 21p+108

8 4) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (ax+b)(cx+d):
(ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x + b.d Ejemplo: (3x +5) ( 2x -4) =(3)(2)x2+(3*-4 +5*2)x + 5* (-4) =6x2 -2x -20 (2x - 3) ( 3x -5) =(2)(3)x2+(2*(-5) +(-3)*(3))x + (-3)* (-5) =6x2 -19x +15

9 5) CUBO DE UN BINOMIO (a+b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3 (a- b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 -b3 Ejemplos: (4n +3)3 = (4n)3 +3(4n)2(3)+3(4n)(3)2+(3)3 = 64n n2+108n2+27 (1 – a2)3 = (1)3- 3(1)2(a)2+3(1)(a2)2- (a2)3 = 1 – 3a2 +3a4 –a6

10 6. BINOMIO POR TRINOMIO (a+b) (a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 (a- b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Ejemplos: (x + 3) ( x2 – 3x + 9 ) = x3 + (3)3 =x (1 – a2) ( 1 +a2 + a4) = (1)3 – (a2)3 =1 - a6

11 Factorización Es el proceso de encontrar dos o más expresiones algebraicas cuyo producto sea igual a la expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.

12 CASOS MÁS USUALES 1) Factor común: (ax +ay) = a(x + y)
x(a +b ) + m (a + b) = (a +b ) (x + m) 2) Diferencia de Cuadrados: (a-b)(a+b) = a2 – b2 3) Trinomio de la forma x2+bx+c: x2 + bx +c = x2 + (b + d)x+ b.d

13 CASOS MÁS USUALES 4) Trinomio de la forma ax2 + bx + c
acx2 + (ad+bc)x + b.d = (ax + b)(cx + d) 5) Trinomio Cuadrado Perfecto: a2 + 2ab + b = (a + b) 2 a2 - 2ab + b = (a - b)2

14 EJEMPLOS

15 EJEMPLOS

16 EJEMPLOS 7) 8) 9)

17 EJEMPLOS 10) 9x2 - 6x + 1 = (3x - 1)2 11) - 4a6 – 9b4 + 12a3b2 = - 4a6 + 12a3b2 – 9b4 = - (4a6 – 12a3b2 + 9b4) = - (2a3 - 3b2)2 (a + b)2 - 20(a + b)c c4 = ((a + b) – 10c2)2

18 EJEMPLO

19 RESUMEN De derecha a izquierda actúan como productos especiales o notables y de izquierda a derecha como métodos de factorización 1. a (x + y) = ax + ay 2. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 3. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 4. (x + y) (x – y) = x2 – y2 5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd 7. (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 8. (x – y)3 = x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3 9. (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3 10. (x – y) (x2 + xy + y2) = x3 - y3