El poder generalizador de los SIMBOLOS

Presentación del tema: "El poder generalizador de los SIMBOLOS"— Transcripción de la presentación:

1 El poder generalizador de los SIMBOLOS
Álgebra y El poder generalizador de los SIMBOLOS

2 Veamos la siguiente situación:
“La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

3 ¿Cómo se resuelve correctamente?
“La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad x aumentada en 5 años” se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre x: mi edad Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3x+ 5

4 OBJETIVOS Conocer conceptos básicos de algebra: Término Algebraico:
Coeficiente Numérico Factor Literal Grado Signo Expresión Algebraica Clasificar expresiones algebraicas Operar con expresiones algebraicas

5 Contenidos Definiciones 2. Operaciones algebraicas
1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas 1.4 Términos semejantes 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes) 2.2 Multiplicación de expresiones algebraicas. 3. Productos notables 4. Factorizaciones

6 1. Definiciones 1.1 Término Algebraico Factor Literal
Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x5y8 Factor Literal 5 + 8 = 13

7 Ejercicios: Identifica las partes de cada término algebraico 2q 5p, mn3p, 3a4b, 7ab

8 1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. Ejemplos: 1) 9x7 – 4 5y 2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q 3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2

9 Expresión algebraica que consta de un término algebraico.
1.3 Clasificación: 1) Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 1) 36x5, 2) 8ab3, 3) 73p4q2

10 2) Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos.
Ejemplo: 2m3n4 + 7ab 3) Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7 4) Polinomio : : Expresión algebraica que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

11 1.4 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 7m3n y 2m3n son semejantes. - Los términos 3p2 y 9p5 NO son semejantes.

12 2. Operaciones algebraicas
2.1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece igual. Ejemplo: mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p = – 3mn5p

13 Ejercitemos lo aprendido:
Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

14 2.2 Multiplicación: Monomio por monomio:
El producto se hace término a término (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal, sumando exponente de las variables iguales) Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) = 10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

15 Polinomio por Polinomio:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

16 Ejemplo: ¿Cómo se resuelve correctamente?
(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. =x² + 10x + 21 (Reduciendo términos semejantes)

17 (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Ejemplo 2:
Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

18 2.1 Productos Notables Cuadrado de Binomio: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2
Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 (x - 2)2 = x2 – 2*2*x + 4 = x2 _ 4x +4

19 a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2
Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

20 Suma por su diferencia:
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

21 Producto de binomio con factor común:
(ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (3x + 4)∙(3x + 2) = (3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2 Desarrollando... = 9x2 + 18x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

22 Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3
(x - y)3 = x3 – 3*x2*y + 3*x*y2 - y3

23 (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

24 2.4 Factorización Factor común: 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2xy + 4xy2 – 6x2y = 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x)

25 Algunos Ejercicios: Factor común monomio: 3m + 15mn -45mp=
4xy -12xyz + 20xy= 6abc -3ab + 2bc = 5mn -15mp +25 pmn=

26 Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...
Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: xz + xw + yz + yw = Factorizar: Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

27 Algunos Ejercicios:

28 Casos para Trinomios Explicación: Trinomio cuadrado perfecto:
Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características: El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos. El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así: Casos de factorización.

29 Ejemplos: x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2
Aquí tienes algunos ejemplos aclaratorios!!

30 Algunos ejercicios: x2 + x + ¼ = a2 + 8a + 16 = 4b2 – 4b + 1 =
z2 + 12z + 36 = 25m2 + 90m + 81 = n2 + 14n + 49 = Casos para Trinomios.

31 Diferencia de cuadrados
Explicación: Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta. Ejemplo: Casos de factorización.

32 Algunos Ejercicios: 36m2n2 - 25 = 121x2 - 144k2 = 3x2 - 12 =
f2 = Diferencia de cuadrados.

33 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción
Explicación: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejercicio: Casos de factorización.

34 Ejemplos: 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2
16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2 (4m )( 2) ( 5n) = 40 mn 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 (2b) (2) ( 1) = 4b 1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2 (1) ( 2 ) (3x) = 6x

35 Algunos ejercicios: x2 + 6x + 9 = 16x2 + 8x + 1 = y2 + 10y + 25 =
81z2+ 108zw + 36w2 = 49x x + 64 = 4y2 - 24y + 36 = Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

36 Trinomio cuadrado de la forma
Explicación: Este trinomio debe cumplir con las siguientes características: El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta, ya que va en cada binomio buscado. EL segundo término debe ser la suma o diferencia entre los números buscados El tercer término es la multiplicación de los números buscados. Ej:

37 x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2)
Ejemplos: x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) 4 x 2 = 8 Multiplicados dan 8 4 + 2 = 6 Sumados dan 6 x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2) -13 x 2 = Multiplicados dan -26 = Sumados dan -11 x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2) -15 x -2 = Multiplicados dan 30 = Sumados dan -17

38 Algunos Ejercicios: x2 + 12x + 6 = a2 – 24a + 15 = f2 – 15f + 18=
r2 – 12r + 27= m2 + 19m + 48= w2 + 20w – 6= Trinomio cuadrado de la forma:

39 Reconocer productos notables:
Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

40 4. Máximo común divisor (M.C.D.)
Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2 es: a4b

41 Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 (x +1)
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... x(x +1) (x +1)2 (x +1) M.C.D. :