Integral Definida y sus Aplicaciones

Área de una región plana.

y x y=f(x) a=x0 xn=b A B

Area de una región plana

Problema físico

Hallar el camino S recorrido por un punto material en el intervalo de tiempo de t=t0 a t=T si se conoce la velocidad v en función de t. Motivación con un problema físico

Planteamiento matemático del problema físico

INTEGRALES DEFINIDAS

Una partición P de [a,b] es cualquier división de [a,b], en subintervalos de la forma:

[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn] siendo n y xk tales que a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

Ilustración de una partición xk xn a=x0 xk-1 xk xn-1 xn=b

se llama norma de la partición. Se denomina por El mayor de los se llama norma de la partición. Continuación de la introducción al tema

Sea f definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b] Sea f definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b]. Una suma de Riemann de f para P, es una expresión RP de la forma:

donde wk[xk-1,xk]

G. F. B. Riemann 1826-1866 Foto de Riemann

Sea f definida en [a,b] y sea I un número real, entonces significa que

Para todo >0 existe un >0 tal que si P es una partición de [a,b] con Entonces:

para cualquier elección de números wk en [xk-1,xk] de P. I se llama límite de la suma de Riemann.

I=límite de la suma de Riemann.

Sea f definida en [a,b]. La integral definida de f entre a y b se denota por:

Y está dada por siempre que exista el límite

Si existe la integral definida de f entre a y b, se dice que f es integrable en [a,b].

Los números a y b se denominan límites inferior y superior de integración.

Si c > d, entonces

Si f(a) existe, entonces

Teorema: Si una función f es continua en [a,b], entonces f es integrable en [a,b].

Una función f, acotada en [a,b] con un número finito de discontinuidades en él, es integrable en [a,b]. Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

Teorema Fundamental del Cálculo Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b]

Si la función G está definida por Parte I Si la función G está definida por Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

para todo x en [a,b], entonces G es una antiderivada de f en [a,b]

Parte II Si F es cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces

Si f es continua en [a,b] y F es cualquier antiderivada de f, entonces

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 Fotos de Leibniz y Newton

Sir Isaac Newton 1642-1727 Fotos de Leibniz y Newton

Ejemplo: Calcular

Se conoce que o sea,

Por eso,

Otras aplicaciones

Area de una región R y=f(x) Y R y=g(x) a b X

Area de una región R. Si f y g son continuas y f(x)  g(x) para todo x en [a,b]

Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por las parábolas y = 4x – x2 e y = x2- 4x + 6

y=x2-4x+6 Y 1 3 x y=4x-x2

Trabajo realizado por una fuerza

Sea f(x) la fuerza en el punto de coordenada x sobre una recta de coordenada l, donde f es continua en (a,b).

El trabajo realizado al mover un objeto del punto con coordenada a al punto con coordenada b es:

Cálculo de cantidades

Sean R(t) la rapidez de cambio y Q(t) la cantidad presente al tiempo t de una entidad física o de otro tipo, siendo Q(t) derivable, entonces

el incremento de Q entre a y b es

Se comienza a bombear petróleo a un tanque de almacenamiento a las 9 Se comienza a bombear petróleo a un tanque de almacenamiento a las 9.00 am a razón de (150t½+25)L/h. Cuántos litros se habrán bombeado al tanque a la 1.00pm?

Solución

Se han bombeado 900 litros de petróleo.