Calculo integral Mtro. César O. Martínez Padilla Entre más dificultades tenga un él, la satisfacción que queda es haber disfrutado y aprender a que existen.

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1 Calculo integral Mtro. César O. Martínez Padilla Entre más dificultades tenga un él, la satisfacción que queda es haber disfrutado y aprender a que existen formas de salir adelante sin caerse ni de voltear a hacia atrás sino más bien mirar hacia adelante. Vas en la dirección correcta!!!! Centro de Ense ñ anza T é cnica Industrial Registro: 11310166 Nombre del Alumno: Alan Francisco Gonzalez Diaz

2 HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287- 212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual.

3 Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

4 Teorema fundamental del cálculo integral El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. El teorema de fue descubierto independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716).

5 Integral Definida E Indefinida Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. Bueno, la integral es la antiderivada de una función, ósea, cuando derivas una función te da otra función, llamada la función derivada, y cuando se integra la derivada se obtiene la función original.

6 Integral Definida Sea f una función continua definida para a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho x. Sean x0 a y xn b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi 1, xi] con i 1,.., n. La integral definida se representa por. ∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

7 Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

8 Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

9 Suma de Riemann La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

10 Teorema de existencia Un teorema de existencia es un teorema que prueba la existencia de una entidad o de entidades sin decir son cuántas entidades allí o cómo encontrarlas. En ejemplo de la existencia un teorema es ése para todos los polinomios, si un valor del polinomio es positivo para un valor de x, y la negativa para otro valor de x, después el valor del polinomio debe ser cero en alguna parte entre los dos valores del x.

11 Teorema de existencia Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b]. Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c, puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lomenos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media enel intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida.

12 Funcion primitiva Una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial ypor el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original. Ejemplo. Y =3x^2+2x+18 Dy/dx = 6x+2 Dy= 6x+2 (dx) Integral =3x^2+2x+c

13 Integracion directa En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.

14 Calcular la integral indefinida En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es. Por tanto:

15 Integracion cambio de variable o sustitucion El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con unaintegral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.integralintegral de tablaregla de la cadena

16 Integracion por partes El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Eligiendo adecuadamente los valores de y, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.integral Un buen orden para escoger la u según la función es este: 1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.