Análisis Matemático III

Análisis Matemático III
Primera parte Funciones Segunda parte Integrales Tercera parte Ecuaciones diferenciales Cuarta parte Método para resolver una ecuación diferencial

Parte I Funciones

Funciones Definición La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B. f Función A y B Conjuntos x a f(x) f(a) B A

Funciones Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales: Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f). Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A. El número f(x) es el valor de f en x.

Funciones y=f(x) Rango Dominio x y

Funciones Ejemplo Encuentre el dominio y rango de cada función:
f(x)=2x-1 g(x)=x2

Funciones Solución La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R. -1 1 1/2 Poner la grafica

Funciones Solución La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo. 1 2 3 4 -1 -2 Poner la grafica

I.1 Exponencial y Logarítmica
Funciones Potencia Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

Función Exponencial Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

Propiedades de la Función Exponencial Siendo: 4. 5. 6.

En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de Definición La función exponencial para cualquier x є R se define como: Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

Gráfica de la Función Exponencial “base e” 2 3 4 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5

Función Logarítmica Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como: Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos: Forma Logarítmica Forma Exponencial log28=3 23=8 loga1=0 a0=1 log10 0.1=-1 10-1=0.1 log =3 103=1000

Propiedades de la Función Logarítmica Siendo: a, b  1 y x, y >0 se tienen las siguientes características: 7.

Logaritmo Natural Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por: Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

Función de Logaritmo Natural -2 -1 -4 0.5 1 1.5 -3 2

Propiedades como Funciones Inversas Si a > 0 y a  1 se tiene: Si a = e se tiene:

Ejemplo: Desarrolla las siguientes expresiones:

Solución: 1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

Solución: 2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

Solución: 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

Solución: 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

Ejercicios de Tarea: 1. Desarrolla la siguiente expresión: 2. Despejar x de las siguientes expresión: a) b) c)

I.2 Diferenciación de la Función Exponencial
Funciones de Base Arbitraria Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es: y para la derivada de au es:

Ejemplo: 1. Derivar las siguientes funciones: y=2x (b) y=2senx Solución: (a) (b)

Funciones de Base e Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es: y para la derivada de eu es:

Ejercicios para Realizar en Clase: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e3x d) y=etan3x

Ejercicios de Tarea: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1 b) y=x2ex c) y=e5x

I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica
Derivación con Base e Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es: y la derivada de lnu es:

Ejemplo: Derivar las siguientes funciones: (a) (b) Solución: Cambiar el ejemplo (b) por uno mas sencillo

Ejercicios para Resolver en Clase: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b) c)

Ejercicios de Tarea: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b)

I.3.1 Diferenciación Logarítmica
El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Método de la Derivación Logarítmica: 1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

Ejemplo: 1. Derivar las siguiente ecuación: Solución:

Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a) b)

Ejercicios de Tarea: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a) b)

Capítulo II Integrales

ii.1 Integral Indefinida
Definición Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I. Ejemplo Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que: Por lo tanto F es una primitiva de f.

Familia de Primitivas: Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: Ejemplo Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones: G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123 también son primitivas de f(x). Es la familia de primitivas de f(x)

Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación: Definición El proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos: lo que significa que:

Partes de la Integración: Variable de Integración Integrando Símbolo de la Integración Constante de Integración

Reglas de la Integración: 1. 2.

Reglas de la Integración:

Ejemplo: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 5.

Solución: 1. 2. 3.

Solución: 4. 5.

Ejercicios para resolver en Clase: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.

Ejercicios de Tarea: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.

ii.2 Integración de Funciones Trigonométricas
Identidades Fundamentales:

Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:

Ejemplo: Calcular la siguiente integral Solución:

Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Resolver las siguientes integrales a) b) c)

ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas. Ramas del Cálculo Cálculo Diferencial Cálculo Integral

Teorema Fundamental de Cálculo Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces: Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

Propiedades de la Integral Definida Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces: 1. Si k es cualquier constante entonces: 2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

Propiedades de la Integral Definida 3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]: 4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

Propiedades de la Integral Definida 5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

Ejemplo Resuelva las siguientes integrales: 1. 2.

Solución: 1. Geométricamente la integración de la función (1) en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada: Hacer la grafica

Solución: 2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada: Hacer la grafica

Ejercicios para Resolver en Clase Resolver las siguientes integrales: 1. 2. 3.

Ejercicios de Tarea Resolver las siguientes integrales: 1. 2. 3.

ii.4 Método de Sustitución
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces: Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y: Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.

Ejemplo: 1. Resolver la integral: Solución:

Ejercicios para Resolver en Clases 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) b) c)

ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución. Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación: Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces

Ejemplo Solución Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que Hallamos los nuevos límites de integración:

Por lo tanto:

Ejemplo: Evaluar la siguiente integral

Ejercicios para Resolver en Clase Evaluar las siguientes integrales: 1. 2. 3.

Ejercicios de Tarea Calcular las siguientes integrales 1. 2. 3.

ii.5 Integración por Partes
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces: Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

Ejemplo Solución De manera que:

Solución Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que: es una integral mas difícil de calcular.

Ejemplo Solución De manera que: La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:

Ejercicios para Resolver en Clase Resuelva las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4.

Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas

Ejemplo De donde: Por lo tanto:

Ejercicios de Tarea Resuelva las siguientes integrales: 4.

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