Volumen por método de los discos

Presentación del tema: "Volumen por método de los discos"— Transcripción de la presentación:

1 Volumen por método de los discos
Reyes Ocampo Héctor Alfonso Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

2 Método de los discos Fácil de entender Calculo II Hector Reyes
23/02/2019

3 Aplicación importante de la integral
la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

4 Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es Volumen del disco = R2w Donde R es el radio del disco y w es la anchura. Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

5 Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es: V = R2 x Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

6 Calculo II Hector Reyes
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7 Volumen del sólido   [R(xi)]2 x =  [R(xi)]2 x i=1 i=1
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos n n Volumen del sólido   [R(xi)]2 x =  [R(xi)]2 x i= i=1 Tomando el límite ||||  0 (n ), tenemos n Volumen de un sólido = lim  [R(xi)]2 x =  [R(x)]2 dx n = i=1 Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

8 Esquemáticamente, representamos el método de discos:
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9 Fórmula vista Elemento Nueva formula
En precálculo Representativo de integración Volumen del disco V= R2w V= [R(xi)]2x V=  ab [R(x)]2 dx El MÉTODO DEL DISCOS Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, úsese una de las fórmulas siguientes. Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución Volumen = V=  [R(x)]2 dx Volumen = V =  [R(y)]2 dy Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

10 Método de los discos Difícil de entender Calculo II Hector Reyes
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11 Método de los discos Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

12 Uso del método Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida. Elegimos una partición regular de [a, b]: Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

13 Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

14 la altura (anchura) de los cilindros parciales
siendo: . la altura (anchura) de los cilindros parciales el radio de los cilindros parciales Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir: Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

15 Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

16 Ejemplos Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

17 entre 0 y . Su volumen es igual a .
•  El volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia alrededor del eje OX es igual a   •  Un cono circular recto de altura y radio de la base se obtiene girando la recta entre 0 y . Su volumen es igual a . Calculo II Hector Reyes 23/02/2019

18 Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por:
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de f(x) = y el eje x(0  x  ) alrededor del eje x. Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por: R(x) = f(x) = Y se sigue que su volumen es: V=  [R(x)]2 dx = dx = dx = -  cos x =  (1+1) =2 Calculo II Hector Reyes 23/02/2019