PPTCEG045EM32-A16V1 Plano en el espacio EM-32

Recordemos… -¿Cómo se determina el punto medio de un segmento en el espacio? -¿Cuándo dos rectas en el espacio son perpendiculares? Resumen de la clase anterior

Aprendizajes esperados Comprender qué rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta y del plano en el espacio.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión En la figura, se tienen los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 0) y C(0, 1, 0). Si M es el punto medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes coordenados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C. II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C. III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III ¿Qué entiendes por plano? ¿Se podría definir un único plano si solo se conocieran dos puntos?

1. Características del cubo 2. Planos en el espacio

1. Características del cubo Área = 6 · arista 2 Volumen = arista 3 N° de caras = 6 arista N° de aristas = 12 N° de vértices = Cubo Un cubo es un cuerpo geométrico con las siguientes características: Las caras opuestas son siempre paralelas Dos caras consecutivas son perpendiculares. Una arista siempre tiene tres aristas paralelas con ella, mientras que el resto de las aristas son perpendiculares con ella.

1.2 Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 1 y 5 de tu guía. Más información en las páginas 113 y 114 de tu libro. 1. Características del cubo ALTERNATIVA CORRECTA E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión En la figura, A, B, C y D son vértices del cubo de arista 1 cm. Si E es el punto medio de AB, EF  AB y F está en BC, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) El Δ ABC no es isósceles. B) El segmento EF mide cm. C) El área del Δ ABC es cm 2. D) ∡ ABC = ∡ BCD E) El ABC mide 30°.

2.1 Ecuación del plano en el espacio 2. Planos en el espacio La ecuación del plano, al igual que la ecuación de la recta en el espacio, se puede expresar de manera vectorial, paramétrica y cartesiana. Para determinar una ecuación del plano basta conocer tres puntos no colineales o dos rectas que se intersecten en un punto. 2.2 Ecuación vectorial del plano La ecuación vectorial de un plano que contiene los puntos P 0 (x 0, y 0, z 0 ), P 1 (x 1, y 1, z 1 ) y P 2 (x 2, y 2, z 2 ) está dada por: (x, y, z) = P 0 + λ·(P 1 – P 0 ) + μ·(P 2 – P 0 ) Con λ y μ variando en los reales x y z P1P1 P2P2P2P2 P0P0P0P0

2.3 Ecuaciones paramétricas del plano x = x 0 + λ·(x 1 – x 0 ) + μ·(x 2 – x 0 ) y = y 0 + λ·(y 1 – y 0 ) + μ·(y 2 – y 0 ) z = z 0 + λ·(z 1 – z 0 ) + μ·(z 2 – z 0 ) Si los puntos P 0 (x 0, y 0, z 0 ), P 1 (x 1, y 1, z 1 ) y P 2 (x 2, y 2, z 2 ) son puntos de un plano, entonces: Con λ y μ variando en los reales 2.4 Ecuación cartesiana del plano : Ax + By + Cz + D = 0 A·a + B·b + C·c + D = 0Si un punto (a, b, c) pertenece al plano entonces: Para determinar esta ecuación, se asume D = 1, se reemplaza cada uno de los puntos conocidos de manera tal que se genere un sistema de ecuaciones, y se determina los valores de A, B y C. A, B, C y D ∈ ℝ 2. Planos en el espacio

2.5 Posiciones relativas de planos en el espacio 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 1 y 2 son coincidentes si: Sean los planos 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 1 y 2 son paralelos no coincidentes si: 1 y 2 son perpendiculares si: A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 2. Planos en el espacio

2.6 Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 12 y 19 de tu guía. Más información en las páginas 112 y 113 de tu libro. Fuente : Archivo Cpech, Ensayo MT Sea P: a · x + b · y + b · z + a = 0 un plano en el espacio, con a y b distintos de cero. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a P? A) (– 1, 1, – 1) B) (1, – 1, 1) C) (1, 1, – 1) D) (– 1, 1, 1) E) (1, – 1, – 1) ALTERNATIVA CORRECTA A 2. Planos en el espacio

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión En la figura, se tienen los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 0) y C(0, 1, 0). Si M es el punto medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes coordenados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C. II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C. III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA C

Síntesis de la clase Recordemos… -Si la arista de un cubo mide a cm, ¿cuál es la mayor distancia entre un par de vértices de este cuerpo? -Si se conocen tres puntos no colineales, ¿cómo se obtiene una ecuación vectorial del plano que los contenga?

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Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 1 E Geometría analítica Comprensión 2 A Geometría analítica ASE 3 D Geometría analítica ASE 4 D Geometría analítica ASE 5 E Geometría analítica Aplicación 6 A Geometría analítica Aplicación 7 D Geometría analítica Aplicación 8 B Geometría analítica Aplicación 9 D Geometría analítica ASE 10 B Geometría analítica ASE 11 D Geometría analítica Aplicación 12 C Geometría analítica Aplicación

Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 13 D Geometría analítica Aplicación 14 B Geometría analítica Aplicación 15 C Geometría analítica Aplicación 16 C Geometría analítica Aplicación 17 E Geometría analítica ASE 18 E Geometría analítica ASE 19 C Geometría analítica ASE 20 B Geometría analítica ASE 21 E Geometría analítica Aplicación 22 E Geometría analítica ASE 23 E Geometría analítica Aplicación 24 A Geometría analítica ASE 25 B Geometría analítica ASE

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