MATEMÁTICA Propiedad Intelectual Cpech Clase Teorema de Thales, división de segmentos y teorema de Euclides PPTC3M039M311-A16V1.

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1 MATEMÁTICA Propiedad Intelectual Cpech Clase Teorema de Thales, división de segmentos y teorema de Euclides PPTC3M039M311-A16V1

2 1. Aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. ¿Qué Aprenderemos hoy? 2. Aplicar división interior de un trazo en una razón dada. 3. Aplicar la noción de semejanza a la homotecia de figuras.

3 Resumen clase anterior Recordemos la clase anterior… -¿En qué consiste la semejanza de figuras? -¿Qué es la razón de semejanza y cuál es la relación que tiene con el área y el perímetro aplicada a triángulos? -Al trazar la altura que cae sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ¿qué se generan? ¿cuáles son las relaciones métricas entre los segmentos de este triángulo?

4 1. Teorema de Thales ¿Qué se puede decir respecto a los triángulos ABC y DEC? Justificar y plantear una relación entre los lados. ¿Qué se puede decir respecto a los segmento AB y DE? Pedro necesita una pieza con forma de triángulo rectángulo para completar un mosaico decorativo. Pedro: Cuento con una pieza similar a la que necesito, pero para que calce necesito que sea más pequeña, por lo que la cortaré por el segmento DE. A E D B C AB = 12 cm AC = 9 cm BC = 15 cm DE = 10 cm Teorema de Thales y división de segmentos Según las medidas entregadas, ¿a qué distancia del vértice C deben ubicarse los puntos D y E para realizar el corte?

5 1. Teorema de Thales La situación anterior puede resolverse utilizando el teorema de Thales, que como pudiste ver, tiene sustento en la semejanza de triángulos. Teorema de Thales y división de segmentos Establece proporciones entre rectas paralelas cortadas por dos transversales. Si L 1 // L 2 // L 3, entonces Teorema de Thales C D F E A B L1L1 L2L2 L3L3 A O C D B L1L1 L2L2 L1L1 L2L2 A C B O D AB BC = DE EF OA OB = OC OD AO OD = BO OC Completa las relaciones restantes en el mapa conceptual de tu guía.

6 En el rectángulo de la figura adjunta, el punto G está en el segmento AB y F en la diagonal AC. Si AD = 4 cm, AG = 6 cm y AB = 2AD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)6 : FG = 2 : BC II) FC = cm III) Δ ACD ~ Δ FAG A)Solo I B)Solo II C)Solo I y III D)Solo II y III E) I, II y III ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación D 1.1 Ejercicio PSU Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2015 ¡AHORA TÚ! Ejercicios 11 y 16 de tu guía. B A F CD G Teorema de Thales y división de segmentos Con las medidas conocidas, ¿es posible determinar la medida de AC?¿Conoces alguna regularidad que se pueda aplicar a este caso? ¿Es correcta esta afirmación?¿Cuál es el error común que se comete en este caso?

7 2. Teorema de la bisectriz Otro teorema importante en geometría de proporción es el teorema de la bisectriz. Teorema de Thales y división de segmentos Establece relaciones entre los lados de un triángulo (cualquiera) y los segmentos generados por la intersección entre la bisectriz (CD) y el lado opuesto al ángulo dividido (AB). Teorema de la bisectriz b u = a v a C v B A b u D Completa la información de este tema en el mapa conceptual y realiza el ejercicio 7 de tu guía.

8 3. División de un segmento En un cuadro, Pedro quiere pegar trozos de una cuerda para decorarlo. Para ello tiene una cuerda de 81 cm de largo, la cual divide interiormente en una razón de 2 : 1. Luego, divide al trozo más largo en la misma razón y así hasta obtener solo trozos de medida entera. ¿Cuánto mide el trozo de cuerda más pequeño?. ¿Cuántos trozos de cuerda quedan al final del proceso? Teorema de Thales y división de segmentos decomanitas.com Sea AB un segmento dividido interiormente por P en la razón m : n, entonces División interior de un segmento BP A Sea AB un segmento dividido exteriormente por P en la razón m : n, entonces División exterior de un segmento BPA

9 En la figura adjunta, AC = 24 cm, AC : AD = 2 : 3. La medida del segmento CD es igual a A)12 cm B)14,4 cm C) 16 cm D)36 cm E) ninguno de los valores anteriores. ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación A 3.1 Ejercicio PSU Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2016 ¿Cómo puede ser expresada la medida de CD en base a la constante de proporcionalidad? ¿Cómo se puede expresar esta razón en el problema, en base a una constante de proporcionalidad? ¡AHORA TÚ! Ejercicios 2 y 4 de tu guía. Teorema de Thales y división de segmentos DC A

10 4. Homotecia Si k > 0, la homotecia es directa. Si k < 0, la homotecia es inversa. Teorema de Thales y división de segmentos A B C D E F O I H G Transformación geométrica que construye una figura semejante a la original y con lados paralelos a ella, en base a una constante k, distinta de cero, llamada razón de homotecia. Homotecia Centro de homotecia Si |k| > 1, la figura se dilata. Si |k| < 1, la figura se contrae Completa la información de este tema en el mapa conceptual de tu guía. ¿Qué relación puede establecerse entre los segmentos punteados?

11 En la figura, al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O de razón – 2, transformándose en el triángulo DEF. Entonces, es correcto afirmar que I)el área de Δ DEF es el doble del área de ΔABC. II) si AC = 3 y AB = 4, entonces EF = 10. III) si CF = 12, entonces OC = 6. Es (son) verdadera(s) A)solo II. B)solo III. C)solo I y II. D)solo I y III. E) solo II y III. AB C DE F O ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación A 4.1 Ejercicio PSU Fuente: Archivo Cpech ¡AHORA TÚ! Ejercicios 17 y 18 de tu guía. Teorema de Thales y división de segmentos Método de resolución de problemas

12 En la figura adjunta, AB = 3 y CD = 6. Se puede determinar el valor de AE si I)DE = y Δ ABE se transforma en Δ DCE mediante una homotecia con centro en E. II) CE = 4 y AB // CD III) BC = 6 y E divide interiormente a los segmentos AD y BC en la razón 1 : 2. Es (son) verdadera(s) A)solo I. B)solo II. C)solo I y III. D)solo II y III. E) I, II y III. B A E CD ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE E Fuente: Archivo Cpech ¿Qué es una homotecia?¿cuál es su relación con la semejanza de triángulos? Síntesis de la clase ¿Qué dice Thales para rectas secantes entre paralelas? ¿Cómo se plantea la división interior de un segmento?

13 ÍtemAlternativaUnidad temáticaHabilidad 1EGeometría de proporciónAplicación 2BGeometría de proporciónAplicación 3AGeometría de proporciónASE 4EGeometría de proporciónAplicación 5AGeometría de proporciónAplicación 6DGeometría de proporciónAplicación 7BGeometría de proporciónAplicación 8DGeometría de proporciónAplicación 9DGeometría de proporciónAplicación 10BGeometría de proporciónAplicación Tabla de corrección

14 ÍtemAlternativaUnidad temáticaHabilidad 11CGeometría de proporciónAplicación 12CGeometría de proporciónASE 13DGeometría de proporciónComprensión 14CGeometría de proporciónAplicación 15DGeometría de proporciónASE 16BGeometría de proporciónAplicación 17EGeometría de proporciónASE 18CGeometría de proporciónAplicación 19AGeometría de proporciónASE 20AGeometría de proporciónASE Tabla de corrección

15 Propiedad Intelectual Cpech ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial:Área Matemática

16 Cuenta regresiva Volver a: 1.Teorema de ThalesTeorema de Thales 2.Teorema de la bisectrizTeorema de la bisectriz 3.División de SegmentosDivisión de Segmentos 4.HomoteciaHomotecia 5.Síntesis de la claseSíntesis de la clase 6.Tabla de correcciónTabla de corrección