Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC042MT21-A16V1 Plano y espacio Propiedad Intelectual Cpech ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE 21.

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1 Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC042MT21-A16V1 Plano y espacio Propiedad Intelectual Cpech ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE 21

2 Propiedad Intelectual Cpech Aprendizajes esperados Ubicar y reconocer características de puntos y segmentos en el plano cartesiano. Aplicar conceptos geométricos en el plano cartesiano. Calcular distancia y punto medio entre dos puntos. Ubicar vectores en el plano cartesiano. Operación de vectores. Ubicar y reconocer características de puntos y segmentos en el espacio tridimensional. Ubicar puntos en el espacio. Calcular distancia entre dos puntos en el espacio. Analizar características del cubo.

3 Propiedad Intelectual Cpech Plano cartesiano x1x1 y1y1 (x 1, y 1 ) Segundo cuadrante Primer cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante x Eje de las abscisas Eje de las ordenadas y origen (0, 0) Punto de abscisa x 1 y ordenada y 1. La distancia entre dos puntos en el plano se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras. Así, la distancia d entre el punto (x 1, y 1 ) y el punto (x 2, y 2 ) queda expresada como: Así, si los extremos de un segmento son los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ), entonces su punto medio M es: x 1 + x 2 y 1 + y 2 2 2 M =, Para obtener el punto medio de un segmento en el plano, se deben promediar las coordenadas respectivas de los extremos del segmento.

4 Propiedad Intelectual Cpech Vectores en el plano Las operaciones vectoriales (suma, resta y ponderación de vectores) se realizan considerando las coordenadas por separado. Si se tienen los vectores v = (x 1, y 1 ) y u = (x 2, y 2 ), y es un número real, entonces: Suma: v + u = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Resta: v – u = (x 1 – x 2, y 1 – y 2 ) Ponderación: ∙v = ( ∙x 1, ∙y 1 ) Un vector es un objeto matemático que se caracteriza por tener módulo o magnitud, dirección y sentido. x1x1 y1y1 v x y Vector v = (x 1, y 1 ) Se representa algebraicamente por un par ordenado, y gráficamente por una flecha cuyo origen se ubica por lo general en el origen y cuyo final se ubica en el par ordenado que representa. El módulo (longitud) de un vector m = (a, b), se representa por  m , y se calcula como la longitud de un segmento cuyos extremos son (0, 0) y (a, b).

5 Propiedad Intelectual Cpech Sistema tridimensional La distancia entre dos puntos en el espacio se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras. Así, la distancia d entre el punto (x 1, y 1, z 1 ) y el punto (x 2, y 2, z 2 ) queda expresada como: Así, si los extremos de un segmento son los puntos (x 1, y 1, z 1 ) y (x 2, y 2, z 2 ), entonces su punto medio M es: x 1 + x 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2 2 2 M =,, 2 Para obtener el punto medio de un segmento en el espacio, se deben promediar las coordenadas respectivas de los extremos del segmento. El sistema de coordenadas tridimensional (espacio) se construye trazando un eje Z, perpendicular a los ejes X e Y en el origen. x y z Eje de las cotas Eje de las ordenadas Eje de las abscisas (x 1, y 1, z 1 ) x1x1 y1y1 z1z1 Punto de abscisa x 1, ordenada y 1 y cota z 1 origen (0, 0,0)

6 Propiedad Intelectual Cpech Características del cubo Las caras opuestas son siempre paralelas Dos caras consecutivas son perpendiculares. Una arista siempre tiene tres aristas paralelas con ella, mientras que el resto de las aristas son perpendiculares con ella. Un cubo es un cuerpo geométrico formado por seis cuadrados. Tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. arista cara vértice Área total = 6 · arista 2 Volumen = arista 3

7 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Comprensión A Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017. 1. Si las coordenadas de los vértices de un triángulo son (4, 0), (12, 0) y (12, 8), ¿cuál es el área del triángulo, en unidades cuadradas? A) 32 B) 48 C) 96 D) 64 E)

8 Propiedad Intelectual Cpech 2. En la figura adjunta el triángulo ABC tiene sus catetos paralelos a los ejes coordenados. Si AB = 2 unidades y p > 0, entonces las coordenadas del punto medio de AB son A) (3, 1) B) (8, 3) C) (14, 3) D) (3, 3) E) (4, 3) Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE B Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017.

9 Propiedad Intelectual Cpech 3. Se pueden determinar las coordenadas del extremo de un vector dado u, que tiene la misma dirección y origen que v de la figura adjunta, si se sabe que: (1) u y v tienen el mismo sentido. (2) El módulo de u es igual al doble del módulo de v. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE C Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017.

10 Propiedad Intelectual Cpech 4. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(5, 1, 3) y B(8, – 5, 1)? A) 11 unidades B) unidades C) unidades D) unidades E) 7 unidades Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017.

11 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2013. 5. En la figura, A, B, C y D son vértices del cubo de arista 1 cm. Si E es el punto medio de AB, EF  AB y F está en BC, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) El Δ ABC no es isósceles. B) El segmento EF mide cm. C) El área del Δ ABC es cm 2. D) ∠ ABC = ∠ BCD E) El ∠ ABC mide 30°.

12 Propiedad Intelectual Cpech Prepara tu próxima clase En la próxima sesión estudiaremos Ecuación de la recta

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