CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Derivada Direccional, Vector Gradiente

¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?

¿Qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? Las curvas de nivel en la figura unen localidades con la misma temperatura T(x,y), a las 3 pm de un día de octubre. La derivada parcial en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno es la razón de cambio de la temperatura si viaja hacia el norte. y x

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas, de forma coherente.

TEMARIO Derivadas Direccional Vector Gradiente. Aplicaciones del Gradiente.

Suponer que se está en la colina de la figura adjunta y se quiere determinar la inclinación de la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por z=f(x,y) se sabe cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada por la derivada parcial f y y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada parcial f x. Estas dos derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier dirección. DERIVADA DIRECCIONAL

Derivadas direccionales Sea z = f(x, y) función de dos variables. Las derivadas parciales f x y f y representan las tasas de cambio de z en las direcciones de x y de y, es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1). Si se quiere determinar la tasa de cambio de z en (x o, y o ) en la dirección de un vector unitario u = (a, b), consideramos el punto P(x o, y o, z o ) sobre la superficie S dada por z = f(x, y). El plano vertical que pasa por P en la dirección u cruza a S en una curva C; la pendiente de la recta tangente a C en P es la tasa de cambio que se busca y se llama derivada direccional de f en la dirección u.

Definición: Definición: La derivada direccional de la función de varias variables f en el punto P en la dirección del vector unitario u es: siempre que este límite exista. Si la función f tiene dos variables, el punto P es P(x o, y o ) y el vector unitario es u = (a, b), Además, observe que, para l os vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1):

El siguiente Teorema nos proporciona una manera de calcular la derivada direccional sin tener que usar el límite: Teorema: Teorema: Si z = f(x, y) es función diferenciable de x y de y, entonces f tiene derivada direccional en un punto P(x 0,y 0 ),en la dirección de cualquier vector unitario u = (a, b) y se tiene que: Observación: Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo X, entonces podemos escribir y se tiene,

Sea f función de varias variables cuyas derivadas parciales existen. El gradiente de f, denotado por, es la función vectorial definida por Vector gradiente Para una función de dos variables definida por z=f(x,y): Para una función de tres variables definida por w=f(x,y,z):

La Derivada direccional en Términos del vector Gradiente 

 El valor máximo de D u f(x 0,y 0 ) se alcanza en la dirección  f(x 0,y 0 ).  La tasa máxima de crecimiento (valor máximo de D u f(x 0,y 0 ) ) es ||  f (x 0,y 0 )||.  El valor mínimo de D u f(x 0,y 0 ) se alcanza en la dirección de -  f(x 0,y 0 ).  La tasa mínima de crecimiento (valor mínimo de D u f(x 0,y 0 ) ) de f en P(x 0,y 0 ) es - ||  f (x 0,y 0 )||. Propiedades del vector gradiente

. Determinar si la afirmación es verdadera o falsa. De ser falso, explique por qué o dar un contra ejemplo.

REFLEXIONANDO SOBRE LO APRENDIDO ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando las derivadas direccionales y el vector gradiente? ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios y problemas? ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?, ¿Qué he aprendido en esta sesión?

# CÓDIGOAUTORTÍTULO EDITORIAL THOM 2007 THOMAS Calculo en Varias Variables CLA PITA 2009 CLAUDIO PITA. Cálculo Vectorial LARS 2008 LARSON, RON Cálculo II BIBLIOGRAFÍA