@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 8 * 2º BCS.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 8 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.22 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO U.D. 8.2 * 2º BCS

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Cuando una función nos viene dada de forma analítica, y=f(x), su derivada f ’(x) nos da la inclinación o pendiente de la función en cada punto. EJEMPLO Hallar la derivada de y = x 2 + 3x – 5 en x = -2, en x = 0, y en x = 3 Hallamos la función derivada: y ‘ = 2x + 3 f ‘(-2) = 2.(-2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 f ‘(0) = 2.(0) + 3 = 0 + 3 = 3 f ‘(3) = 2.(3) + 3 = 6 + 3 = 9 Que es mejor que calcular las tres derivadas de la función en un punto, UTILIZANDO LA FUNCIÓN DERIVADA. CÁLCULO DE LA DERIVADA EN VARIOS PUNTOS

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Se llaman puntos singulares a los puntos de tangencia horizontal, entre los cuales están los máximos y mínimos relativos. Las abscisas de los puntos singulares son los valores de x que cumplen: f´(x) = 0. EJEMPLO Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x 2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x 2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. OBTENCIÓN DE ABSCISAS EN PUNTOS SINGULARES

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en xo, entonces: Si f ‘’(xo) > 0  f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en xo. EJEMPLO_1 Sea y = (1 / 3) x 3 – (3 / 2) x 2 + 2 x – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x 2 – 3x + 2  y ‘ = 0  (x – 1).(x – 2) = 0 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 En x=1  y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0  Máximo relativo en x=1 En x=2  y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0  Mínimo relativo en x=2 y ‘’ =0  2.x – 3 = 0  x = 1,5  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 EJEMPLO_2 Sea y = (1 / 3) x 3 + x 2 – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x 2 + 2x  y ‘ = 0  x.(x + 2) = 0 x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2 En x = 0  y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0  Mínimo relativo en x=0 En x = – 2  y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0  Máximo relativo en x= – 2 y ‘’ = 0  2.x + 2 = 0  x = – 1 es el posible P. de Inflexión.  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. IDENTIFICACIÓN …

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Si f´(x) > 0 la curva crece y si f´(x) < 0 la curva decrece. Resolviendo ambas inecuaciones, una u otra, cuando proceda, se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece. EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. OBTENCIÓN DE TRAMOS DE CRECIMIENTO

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 OBTENCIÓN DE TRAMOS DE CRECIMIENTO Sea la función: y = 2.x 3 + 3. x 2 – 12.x – 5 – 2 1 x f´(– 3) > 0  Crece f´(0) 0  Crece f´(– 2) = 0 f´(1) = 0 f´´(– 2) 0  Mínimo

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Para hallar los valores de x que cumplen f´(x) = k, se obtiene la expresión de la derivada y se resuelve la ecuación. EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 ¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2? Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: 2 = 6.(x 2 + x – 2 )  6.x 2 + 6.x – 14 = 0  3.x 2 + 3.x – 7 = 0  x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11 En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2. OBTENCIÓN DE ABSCISAS PARA UN VALOR DE LA DERIVADA

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 RECTAS TANGENTES EN UN PUNTO Ya vimos como la pendiente de la recta tangente a una función, m, era el valor de la derivada de dicha función en dicho punto: m = f ‘ (a) Luego la ecuación de la recta tangente a la función y = f(x) en el punto x=a será, empleando la fórmula del punto-pendiente: y – f(a) = f ’(a). ( x – a ) EJEMPLO 1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = x 2 – 3x + 2 en el punto de abscisa x = 1. Como la pendiente de la recta tangente, m, es el valor de la derivada en dicho punto: y ‘ = 2.x - 3 m = f ‘ (1) = 2.(-1) – 3 = - 5  y – f(1) = m. ( x – 1 ) Luego la recta tangente es: y – 0 = - 5. ( x – 1 )  y = - 5.x + 5 RECTAS TANGENTES

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 – 3 - 2 - 1 0 RECTAS TANGENTES EJEMPLO 2 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = 2.x 3 + 3. x 2 – 12.x – 5 en el punto de abscisa x = – 3. Como la pendiente de la recta tangente, m, es el valor de la derivada en dicho punto: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 m = f ‘ (-3) = 6.9 – 6.3 – 12 = 54 – 18 -12 = 24  y – f(-3) = m. ( x + 3 ) Luego la recta tangente es: y – (2.(-27) + 3.9 + 12.3 – 5) = 24. ( x + 3)  y – (-54 + 27 + 36 – 5) = 24.x + 72  y – 4 = 24.x + 72  y = 24.x + 76

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 0 1,5 2 3 4 EJEMPLO 3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x 2 + 4x En x=1,5 x=1,5  y = – 2,25 + 6 = 3,75 Punto de tangencia  P(1,5, 3,75) La función derivada es: f ’ (x) = – 2.x + 4 (Ya realizada anteriormente) La derivada en x=1,5 vale: f ’ (1,5) = – 2.1,5 + 4 = 1 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 3,75 = 1.(x – 1,5) y = x + 2,25 Y además podemos deducir: f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m>0 m=0 m<0

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 0 1,5 2 3 4 EJEMPLO 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x 2 + 4x En x=3 x=3  y = – 9 + 12 = 3  Punto de tangencia  P(3, 3) La función derivada es: f ’ (x) = – 2.x + 4 (Ya realizada anteriormente) La derivada en x=3 vale: f ’ (3) = – 2.3 + 4 = – 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 3 = – 2.(x – 3) y = – 2.x + 9 Y además podemos deducir: f ’(3) = m = – 2 < 0  Decreciente m>0 m=0 m<0

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 EJEMPLO 5 Sea la función: a)Calcula la función derivada. b)¿En qué punto de gráfica de f la derivada vale 10?. c)¿En qué punto de gráfica de f la tangente es horizontal?. d)¿Hay algún punto de la gráfica en que la tangente sea paralela a la recta y = - 3.x + 2 ?

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.15 RESOLUCIÓN a)Hallamos la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h 0,33.(x+h) 3 + 0,50.(x+h) 2 – 6.(x+h) – 0,33.x 3 – 0,50.x 2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h  0 h 0,33.(x 3 +3.x 2.h+3.x.h 2 +h 3 ) +0,50.(x 2 +2.x.h+h 2 ) – 6.x – 6.h – 0,33.x 3 – 0,50.x 2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h  0 h x 2.h + x.h 2 + 0,33.h 3 + 0,50.h 2 – 6.h = lím ---------------------------------------------------------------- = h  0 h = lím ( x 2 + x.h + 0,33.h 2 + 0,50.h – 6 ) = x 2 + x – 6 h  0

17 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.16 RESOLUCIÓN b)Punto en que f´(x) vale 14. f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 =14  x 2 + x – 20 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+80)]/2 = 4 y – 5 c)Tangente horizontal La pendiente de la recta tangente debe ser cero. m = f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 =0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+24)]/2 = 2 y – 3 d)Tangente paralela a la recta y = - 3.x + 2 Al ser paralela debe tener la misma pendiente. m = f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 = – 3  x 2 + x – 3 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+12)]/2 = 1,30 y – 2,30 Importante: Aquí hemos hallado las abscisas (valores de x) de los puntos de tangencia pedidos. Hay que hallar también las correspondientes ordenadas o imágenes (valores de y)