Cálculo simbólico con GeoGebra David Benítez Mojica Universidad de Caldas Innatituto Geogebra del Tolima

Cálculo simbólico con GeoGebra De la versión 4.2. en adelante

Cálculo simbólico con GeoGebra

Factorización de números y polinomios. Resolución de ecuaciones. Resolución de sistemas de ecuaciones. Discusión de sistemas. Cálculo diferencial. Cálculo integral. Cálculo de límites. Sumas y productos de series. Simplificación de expresiones trigonométricas. Vectores y matrices. Resolución de ecuaciones diferenciales.

Barra de herramientas propia. Las operaciones y resultados aparecen numerados por filas. Vista CAS - Cálculo simbólico

Evalúa Enter Conserva entrada Alt-Enter Valor numérico Ctrl-Enter Vista CAS - Cálculo simbólico

En una fila en blanco: =Repite la entrada previa. )Repite la entrada previa encerrada entre paréntesis. Barra espaciadoraRepite la salida previa.

Establece el número de cifras decimales para los valores numéricos o cálculos aproximados. Vista CAS - Cálculo simbólico

Referencias entre filas Estáticas: # #n ## ##n salida previa salida fila n entrada previa entrada fila n $ $n $$ $$n Dinámicas: salida previa salida fila n entrada previa entrada fila n

+-/* espacio ^ Alt - n Operadores matemáticos Alt – iunidad imaginaria Alt – ppiNúmero Pi Alt – eNúmero e

Copiar y pegar expresiones

Primeras operaciones: factorizar Factoriza(expresión, variable) Factoriza(número) Factoriza(expresión) Factoresprimos(número)

Máximo común múltiplo y mínimo común divisor Divisores MCDMáximo común divisor MCMMínimo común múltiplo División{cociente, resto} Divisores ListaDivisores

Actividad Con ayuda de un deslizador, determina la lista de divisores de los números menores que 100 para establecer cuáles son primos y cuáles no. EsPrimoPrimoPrevioPrimoSiguiente

Números primos EsPrimoPrimoPrevioPrimoSiguiente

Primeras operaciones: desarrollo y sustitución Sustituye[expresión, variable, valor] DesarrollaSustituye

Actividad Aplica el teorema del resto para determinar las raíces enteras del polinomio: P(x)  x 3  2x 2  x  2 Comprueba los resultados hallando la descomposición en factores del polinomio. Asignación a una variable: := a:=3x-1

Actividades 1.Determinar si 1+i, es una raíz del polinomio: 3z 4  5z 3  4z  2 2.Comprobar que a es una raíz del polinomio p(x). a 2 3 5a 2 3 5 p(x)  x 8  40x 6  352x 4  960x 2  Si a y b son dos números naturales consecutivos, entonces la siguiente expresión es un cuadrado perfecto. a 2  b 2  (a b) 2

Resolución de ecuaciones Raíz[polinomio]

Resolución de ecuaciones RaízCompleja[polinomio]

Resolución de ecuaciones

 Raíz[ecuación, valor inicial, valor final] Raíces[ecuación, valor inicial, valor final]

Resolución de ecuaciones Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación]

Resolución de ecuaciones Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación] Resuelve Soluciones[ecuación,variable] Resuelve[ecuación,variable]

Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: x 3  x 2  7x  7  0x 4  3x 2  4  0

Factorización de polinomios Factores Factoriza FactorC FactorizaCI

Raíces complejas SolucionesC ResoluciónC

Resolución numérica de ecuaciones Resolver la ecuación polinómica x6  x  2  0x6  x  2  0

Resolución numérica de ecuaciones SolucionesN ResoluciónN SolucionesN[ ecuación, variable] SolucionesN[ecuación, variable=valor inicial] ResoluciónN[ ecuación, variable] ResoluciónN[ecuación, variable=valor inicial]

Resolución de sistemas de ecuaciones Los mismos comandos utilizados en la resolución de ecuaciones. Soluciones[{ecuación 1,ecuación 2,…},{x, y, z, …}] Resuelve[{ecuación 1,ecuación 2,…},{x, y, z, …}]   3x  2 y  3z  1  x  3y  2z   3 4x  y  5z  4 

Actividad Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x  2 y  3z  1  y  2z   3 x  3y  z  4  x  y  2z  t  2 x  3y  z  3t   2 x  y  z  t  1x  y  z  t  1

Actividad Discutir y resolver, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   a x  y  z  4  x  a y  z  1  x  y  z  a  2 

Actividad Discutir y resolver, según los valores de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  2x  y  b 4x  ay  6 

Actividad Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:  x 2  y 2  5 x  y  3   cos x  sen y  1 cos x  2 sen y  0  ¿Puedes resolver alguno de los sistemas anteriores utilizando la Vista algebraica y la gráfica?

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas Desde la vista algebraica Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión] Derivada[expresión,orden] Derivada[expresión,variable,orden]

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas Derivada Derivada[expresión] Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión,variable,orden] DerivadaImplícita[f(x,y)] DerivadaImplícita[f(x,y), v dependiente, v independiente]

Actividad Estudia la función polinómica: f (x)  x 3  3x 2  12x  5

Activi dad ¿Qué relación existe entre los puntos críticos de las funciones f, f’ y f’’? 3 Comprueba los resultados para la función: x 4 f (x)  x 3  x  2

Integración Integral Integral[expresión] Integral[expresión,variable] Integral[expresión, valor inicial, valor final] Integral[expresión,variable,valor inicial, valor final]

Actividad Calcular: x dx 1 00 0 2  44 xcos 2x dx

Actividad Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes: 6 x2x2 27 x 2  9 y y y y 

Actividad Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes: 6 x2x2 27 x 2  9 y y y y  IntegralEntre[f(x),g(x),a,b]

Cálculo de límites Límite[función, valor] Límite[función, variable, valor] x 3  x 2 lim x  1 x 2x  1x 2x  1 x2x2 lim 1  cos 2x x0x0 3x3x x   lim    2  x  2  x  xx

Límites laterales Por la izquierda Por la derecha LímiteInferior LímiteSuperior

Actividad Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: 1 f(x)= (2  x) x

Actividad Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: 1 f(x)= (2  x) x

Comando Asíntota[función] Asíntotas

Actividades

Actividades

Álgebra matricial Definición de vectores En la vista algebraica En la vista CAS u=(a,b) u:=(a,b)

Álgebra matricial Definición de matrices En la vista algebraica A={{a 11,a 12,…},{a 21,a 22,…},…} En la vista CAS A:={{a 11,a 12,…},{a 21,a 22,…},…} ¿Cuál es la diferencia entre las dos opciones anteriores?

Álgebra matricial Operaciones con vectores ProductoEscalar ProductoVectorial

Actividad Dados los vectores a y b. Hallar k para que sean perpendiculares. a  = (1, k,3) b = (  2,2,1  k) 

Actividad Dados los vectores a y b. Hallar k para que sean perpendiculares. a  = (1, k,3) b = (  2,2,1  k) 

Álgebra matricial Operaciones con matrices

Actividad Calcula A 2, A 3, A 4 y A 5.  011A=  101 110 011A=  101 110 

Álgebra matricial Dimensiones de una matriz Matriz identidad de orden n: Determinante de una matriz: Inversa de una matriz: Transpuesta de una matriz: Rango de una matriz Dimensión Identidad[n] Determinante Inversa Traspone RangoMatriz

Actividad  Calcula el rango de la siguiente matriz:         1 1 5   2 1

Actividad  Calcula el rango de la siguiente matriz:         1 1 5   2 1 La forma escalonada de la matriz se obtendrá con la función EscalonadaReducida

Actividad Determina los valores de x para los cuales la matriz A es singular. Halla la matriz inversa para x=1.   x10   A   1x2   10  1 

Actividad  Sean a y b dos números reales. Hallar para que valores de a y b, la matriz A es singular.  Determinar la inversa de A para cada valor de a y de b para los cuales la matriz es invertible. bb 00 11 A   0  0a10b  100b01b0001 0b10b  0a10b  100b01b0001 0b10b 

Actividad Para cada número natural n, se define la matriz cuadrada A n. Deduce cuál es el valor del determinante de A n.  0sii  j  1sii  j A n (i, j)  

Actividad Calcular el determinante de las matrices: ¿Es posible deducir una fórmula para el determinante de las matrices anteriores de orden n? Comprobar la expresión obtenida para los determinantes de orden 6, 7 y 8.       2 2 x 1x 1 00x00x  x2  1x0xx2  1x0xx 100x x2  1x0xx2  1x0xx 100x   2 2 x  1   x 2  1x000   xx 2  1x00    0xx  1x0   00xx 2  1x    000x

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Agustín Carrillo de Albornoz Torres