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Publicada porÓscar Giménez Domínguez Modificado hace 8 años
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ALGEBRA CON VECTORES Y MATRICES Uso de MatLab
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Conceptos importantes
Vectores Matrices Operaciones con vectores y matrices Determinantes Cálculo de vectores y valores característicos
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VECTORES DEFINICION: Conjunto ordenado de números que se distingue no sólo por los elementos que contiene sino por el orden en que se colocan Vector fila Vector columna
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Operaciones con vectores
Suma de vectores: Si a y b son dos n-vectores a+b se obtiene: Multiplicación por un escalar: Si a es un n-vector y t un número real:
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Operaciones con vectores
Combinación lineal: Si a y b son dos n-vectores y t y s son escalares: Se llama combinación lineal de a y b
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Operaciones con vectores
Producto escalar de dos vectores: El producto escalar de dos n-vectores y Se define por la expresión:
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Propiedades Si a, b y c son n-vectores y es un escalar, entonces:
a . b = b . a a . (b + c) = a . b + a . c (a) . b = a . (b) = (a . b) a . a 0 a ≠ 0 La longitud o norma de un vector, que se designa es: ó
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Propiedades Ortogonalidad:
Se define la distancia euclideana entre dos n-vectores como: Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90º:
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Interpretación geométrica
Se puede dar una interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores en términos del ángulo comprendido entre ellos: x y a b con
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MATRICES DEFINICION: Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas Se dice que la matriz tiene orden
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Los números que forman A se llaman elementos
designa el elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima Por simplicidad la matriz se indica por:
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Operaciones con matrices
Igualdad de matrices: y ; Si Se dice que son iguales cuando Suma de matrices: Multiplicación por un escalar: es real,
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Propiedades Sean , y (A+B)+C = A+(B+C) A+B = B+A A+O = A A+(-A) = O
(A+B) = A+B
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Operaciones con matrices
Multiplicación de matrices: Sean y El producto C=AB es la matriz cuyo elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima es el producto escalar de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B
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Propiedades (A.B).C = A.(B.C) A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C
Sean A, B y C matrices con dimensiones adecuadas para que estén definidas las operaciones que se indican (A.B).C = A.(B.C) A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C
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Resumen Introducción El entorno de trabajo de MatLab
El Escritorio de Matlab (Matlab Desktop) El menú inicio Command Window Command History Browser
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Introducción MatLab es un asistente matemático de gran capacidad para el cálculo. Su nombre proviene de las palabras Matrix-Laboratory. Aunque fue desarrollado inicialmente (1984) para el trabajo exclusivo con matrices también puede trabajar con escalares (reales y complejos) así como con cadenas de caracteres.
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El desktop de MatLab
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El desktop de MatLab Menú principal
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El desktop de MatLab Menú de acceso rápido
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Menú de acceso rápido
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El desktop de MatLab Ventana de comandos
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Espacio y directorio de trabajo
El desktop de MatLab Espacio y directorio de trabajo
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El desktop de MatLab Historial de trabajo Menú de inicio
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Definición de vectores y matrices
Las matrices son un tipo común de variable que se emplea en la mayoría de los lenguajes de programación. Por convención emplearemos mayúscula para representar matrices y minúscula para vectores y escalares.
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Definición de vectores y matrices
Las matrices se definen por filas, los elementos de la fila se separan por espacios o comas (,) mientras que las filas van separadas por punto y coma (;) Ejemplos: A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9] B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Se ve en pantalla:
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Definición de vectores y matrices
Los vectores son casos particulares de matrices donde el número de filas o columnas es igual a 1. Ejemplos: Vector fila Vector columna
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Operadores Las matrices se operan a través de operadores o funciones:
+ Suma - Resta * Multiplicación ‘ Traspuesta ^ Potencia / División (derecha) \ División (izquierda) .* y .^ Mult. y Potenciación elemento a elemento ./ y .\ Div. (derecha y izquierda) elemento a elemento
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Operadores relacionales
< Menor que <= Menor o igual a > Mayor que >= Mayor o igual a == Igual a ~= Distinto de
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Operaciones Si a y b son dos n-vectores, a+b es:
Si a es un n-vectores y t es un escalar, se define t.a:
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Operaciones El producto escalar de dos n-vectores se define por la expresión: a . b’ Ejemplo: >> a=[1,2,1] a = >> b=[-3,0,2] b = >> a*b' ans = -1
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Operaciones Si A y B son dos matrices de orden mxn, se define la suma como: Ejemplo: >> A=[1,2,3;5,-3,1] A = >> B=[0,1,2;1,0,2] B = >> A+B ans =
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Operaciones Si A es una matriz de orden mxn y t es un escalar, se define t.A como: Ejemplo: A = >> t=3 t = 3 >> t*A ans =
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Operaciones Sean A=(aij)mxn y B =(bij)nxp. El producto C=AB es la matriz C =(cij)nxp cuyo elemento en la fila i-ésima y en la columna j-ésima es el producto escalar de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B:
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Operaciones La matriz transpuesta se obtiene al intercambiar filas por columnas: Propiedades: (A+B)’=A’+B’ (A.B)’ =B’.A’ (A’)’ = A (A)’ = A’
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Matriz simétrica Matriz cuadrada con la propiedad de ser simétrica respecto a la diagonal principal: Ejemplos: ; ;
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Inversa de una matriz Dada una matriz A de orden (nxn), si existe una matriz X tal que decimos que X es una matriz inversa de A Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz A cuadrada tiene inversa
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Propiedades de la inversa
Sean A y B matrices invertibles n x n: A-1 es invertible y (A-1)-1=A A.B es invertible y (AB)-1=B-1A-1 A’ es invertible y (A’)-1=(A-1)’ (cA)-1=c-1 A-1 si c es un escalar ≠ 0
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Determinantes El determinante de una matriz A(nxn), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, se designa como |A|. Aij (cofactor) es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.
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Aplicación Se busca la solución del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:
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Aplicación Forma matricial del sistema: Solución:
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Valores y vectores propios
Si A es una matriz de nxn, existe un vector no nulo xRn y un escalar tales que se verifica Ax= x Se dice que x es un vector característico o propio y un valor característico o valor propio de A Cálculo: Este sistema tiene una solución no trivial x0 si y sólo si la matriz de los coeficientes tiene determinante igual a 0
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Cálculo de valores y vectores propios
I es la matriz identidad de orden n. Se forma el polinomio característico p() Las raíces de la ecuación característica son los valores característicos de A
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Cálculo de valores y vectores propios
Si las componentes del vector x son x1,…,xn , se puede escribir: Un vector característico asociado a es una solución no trivial (x1, …, xn) de la expresión anterior
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Cálculo de valores y vectores propios
Ejemplo >> A=[ ; ; ; ] A = >> [X,D]=eig(A) X = D =
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