@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 CRECIMIENTO Y EXTREMOS U.D. 10.7 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Se llaman puntos singulares a los puntos de tangencia horizontal, es decir, a los puntos en que su derivada es cero. Las abscisas de los puntos singulares cumplen la ecuación: f ’(x) = 0 EJEMPLO Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x 2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x 2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiamos el crecimiento Máximos y Mínimos relativos

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Crecimiento y decrecimiento Si f ’(x) >0 la función es creciente y si f ‘ (x)<0 la curva es decreciente. Por tanto, resolviendo tales inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece. Los valores de x (abscisas) que nos delimitan tales intervalos serán los puntos singulares y las posibles asíntotas verticales. Si para un valor de x cualquiera, x = a, perteneciente a un intervalo, se cumple que f ’(a) > 0, entonces en todos los puntos de dicho intervalo de valores se cumplirá f ’(x) > 0. Si para un valor de x cualquiera, x = b, perteneciente a un intervalo, se cumple que f ’(b) < 0, entonces en todos los puntos de dicho intervalo de valores se cumplirá f ’(x) < 0. En los puntos donde f ’ (c) =0, la curva puede tener en x = c un máximo o un mínimo relativo: Será máximo si en x < c crece y en x > c decrece. Será mínimo si en x < c decrece y en x > c crece.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Crecimiento y decrecimiento EJEMPLO 1 Sea la función, ya empleada: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ En x= -2 y en x= 1 habrá máximos o mínimos relativos. Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Al crecer hasta x =-2 y luego decrecer, en x = -2 hay un Máximo relativo. Al decrecer hasta x = 1 y luego crecer, en x = 1 hay un Mínimo relativo. (Como se ha visto gráficamente al principio de este apartado).

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO 2 Sea la función: y = x / (x – 1) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1) 2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1) 2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. Intervalos: En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Al ser siempre decreciente, no hay máximos ni mínimos relativos. Crecimiento y decrecimiento

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 EJEMPLO 3 Sea la función: y = 2 / (x 2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x 2 – 4)– 2.2x] / (x 2 – 4) 2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x 2 – 4) 2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Al crecer hasta x=0 y luego decrecer, en x=0 hay un Máximo relativo. Crecimiento y decrecimiento

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 4 x 2 + 3 f(x) = -------- x – 1 Hallamos la función derivada: 2.x.(x – 1) – (x 2 + 3).1 y ’ = ‑‑‑‑‑‑ ---------------------- ‑‑ = 0  y ‘ = 0  2.x 2 – 2.x – x 2 – 3 = 0 (x – 1) 2 x 2 – 2.x – 3 = 0  Resolviendo la ecuación: x= – 1 y x = 3 En x = 1 hay una asíntota vertical que hay que tener en cuenta. Intervalos: En ( - oo, -1)  y ` (-2) = 5 / 9 > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -1, 1)  y ` (0) = - 3 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, 3)  y ` (2) = - 3 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 3, + oo)  y ` (4) = 5 / 9 < 0  Pendiente positiva  Creciente. Crecimiento y decrecimiento

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 -1 0 1 2 3 x... Ejemplo 4 x 2 + 3 f(x) = -------- x – 1 Como en ( - oo, -1) crece y en ( -1, 1) decrece: En x = -1 hay un máximo relativo. x=-1  y = (1+3)/(-1-1) = - 2 Máx(-1, -2) Como en (1, 3) decrece y en ( 3, + oo) crece: En x = 3 hay un mínimo relativo. x=3  y = (9+3)/(3 – 1) = 12/2 = 6 Mín(3, 6) Asíntota vertical: x = 1 Asíntota oblicua: 4 ( x 2 + 3 ) : (x – 1) = x + 1 + ------- x – 1 y = x + 1 es la asíntota oblicua. y Max Mín