 IMPARTIDA POR:  ING. NOE IBARRA ARREDONDO  21/NOV/2015 RIOVERDE, S.L.P. ALGEBRA LINEAL Orden de una Matriz Operaciones con Matrices Transformaciones.

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1  IMPARTIDA POR:  ING. NOE IBARRA ARREDONDO  21/NOV/2015 RIOVERDE, S.L.P. ALGEBRA LINEAL Orden de una Matriz Operaciones con Matrices Transformaciones elementales por Renglón Escalonamiento de una matriz Rango de una matriz Cálculo de la inversa de una matriz Definición de Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

2 Orden de una Matriz Las matrices se componen de filas y columnas a las que generalmente se las representan con las letras m y n. La m para las filas y la n para las columnas. El número de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n Al producto m x n llamamos orden de matriz Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas. Te darás cuenta que una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.

3 Operaciones con Matrices SUMA y RESTA Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B:

4 Operaciones con Matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR Con un nombre real K y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma: cuando K=2

5 Operaciones con Matrices MULTIPLICACION Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M m x n x M n x p = M m x p El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

6 Operaciones con Matrices EJEMPLO

7 Operaciones Elementales por Renglones. Las tres operaciones elementales por renglones aplicadas a las matrices son:

8 Reducción por Renglones. El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz se llama reducción por renglones.

9 Transformaciones elementales por Renglón. La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación. Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los numeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

10 Una MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA es aquella que cumple las siguientes propiedades: 1.Existe un 1 principal. (pivotes) 2.Renglón completamente de ceros ubicados en la parte inferior. 3.El pivote inferior se encuentra mas a la derecha que el pivote superior. Por ejemplo, entre las matrices: A no es escalonada, mientras que B y C si lo son. Escalonamiento de una matriz.

11 Una MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA es aquella que cumple las siguientes propiedades: 1.Existe un 1 principal. (pivotes) 2.Renglón completamente de ceros ubicados en la parte inferior. 3.El pivote inferior se encuentra mas a la derecha que el pivote superior. 4.La columna del pivote, todas sus demás posiciones son cero. Ejemplos: Escalonamiento de una matriz.

12 En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n. Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres: 1.Intercambiar la posición de dos filas. 2.Multiplicar una fila por un número real distinto de cero. 3.Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. Rango de una matriz.

13 Si una matriz es invertible entonces su inversa es UNICA. Procedimiento para determinar la matriz inversa de una matriz cuadrada A: 1.Se escribe la matriz aumentada (A / I) 2.Se utiliza la reduccion por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones. 3.Se decide si A es invertible: a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz Identidad I, entonces, A -1 es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical. b) Si la reduccion de A conduce a un renglon de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible. Cálculo de la inversa de una matriz..

14 Una matriz de nxn es invertible si y solo si su forma escalonada reducida por renglones es la matriz identidad, es decir, si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.

15 El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas. En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales. Definicion de Determinante de una matriz.

16 El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.  El determinante de una matriz es un número.  Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.  Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

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18 1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. Propiedades de los determinantes. 2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales

19 Todos los elementos de una línea son nulos. Propiedades de los determinantes. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

20 Todos los elementos de una línea son nulos. Propiedades de los determinantes. 3.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

21 ALGEBRA LINEAL. Stanley I. Grossman. 5ª Edicion. McGraw-Hill 1996. Título del capítulo Bibliografía: