@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 3.1 * 1º BCS POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables (en polinomios), incógnitas (en ecuaciones) o indeterminadas (en general). EJEMPLOS a)4.x 2 b) a.b c) y - 4 + x 2 d) 2.π.r VALOR NUMÉRICO Es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y realizar las operaciones indicadas. Si la expresión es un polinomio cobra especial importancia, pues si P(a) = 0 entonces decimos que a es una raíz del polinomio. EJEMPLOS a)4.x 2  Para x = 5  4.5 2 = 4. 25 = 100 b)2.π.r  Para r = 10  2.3,1416. 10 = 62,832 Expresión algebraica

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.a.x 3 El 4 es el coeficiente numérico. La a es el coeficiente no numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. CONTRAEJEMPLOS - 3.x - 2 no es un monomio. 5.(x / y) no es un monomio 3 ----- no es un monomio. - 3.x.√y 2.x Monomio

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Grado es el mayor de los términos o monomios que lo forman. Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x P(x) = - 7.x + 5 P(x, y) = x 3 + 7.y 2 - 5.x.y P(x) = 5.x 2 - 7.x + a Polinomio

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Tipos de polinomios REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 REDUCIDOS P(x) = 20.x 3 + 31.x 2 + 4.x – 6 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x 3 + 7.x - 31.x 2 + 4.x – 6 COMPLETOS P(x) = x 3 + 3.x 2 + 4.x – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x 3 + 4.x – 6  Falta término en x 2 ORDENADOS P(x) = x 3 - 3.x 2 – 6  Ordenado de forma decreciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x 3 + 6.x 2 – 6 Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Dado un número real a y un polinomio P(x) se llama valor numérico de P(x) para x=a y se escribe P(a) al número que se obtiene al sustituir x por a. EJEMPLOS a)P(x) = x 3 – 4.x + 5  Para x = 2  P(2) = 8 – 8 + 5 = 5 b)P(x) = x 4 – 4. x 3 + 1  Para x = – 1  P(– 1) = 1 + 4 + 1 = 6 c)P(x) = 3.x 3 – 4.x  Para x = – 2  P(– 2 ) = – 24 + 8 = – 16 d)P(x) = x 4 – 4. x 2  Para x = √2  P(√2) = 4 – 8 = – 4 Valor numérico de un polinomio

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Se llama raíz de un polinomio P(x) a cualquier valor de x para el que el valor del polinomio es cero. EJEMPLOS a)P(x) = x 3 – 4.x  Para x = 2  P(2) = 8 – 8 = 0 b)P(x) = x 4 + 4.x 3 – 5  Para x = 1  P(1) = 1 + 4 – 5 = 0 c)P(x) = 3.x 101 + 3  Para x = – 1  P(– 1) = 3.(– 1) + 3 = 0 d)P(x) = x 4 – 3.x 2  Para x = √3  P(√3) = 9 – 3.3 = 0 d)P(x) = x 4 – e 2  Para x = –√e  P(–√e) = e 2 – e 2 = 0 Raíces de un polinomio

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Aplicación geométrica 1 Se quiere construir un depósito abierto por arriba de modo que el ancho mida 10 m más que el largo y de una altura suma de largo y ancho. Expresa el área del suelo, de las paredes y el volumen del depósito en función del menor número de variables. Resolución: Sea x = largo Sea x + 10 = ancho Sea x + x + 10 = 2.x + 10 = altura. Suelo: A = largo.ancho Paredes: A = perímetro.altura Volumen: V =largo.ancho.altura x x+10 2.x+10 Suelo: A = x.(x+10) = x 2 + 10.x Perímetro de la base: P = 2.x + 2.(x+10) = 4.x + 20 Paredes: A = (2.x+20).(2.x+10) = A = 4.x 2 + 60.x + 200 Volumen: V = x.(x+10).(2.x+10) V = 2.x 3 + 30.x 2 + 100.x

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Aplicación geométrica 2 Se quiere construir un marco para una ventana rectangular. La diagonal de la ventana debe medir 3 metros. El largo del marco vale 7 €/m y el ancho vale 10 €/m. Expresa las dimensiones del marco, el área de la ventana y el coste total del mismo en función del menor número de variables. Resolución: Sea x = largo Por Pitágoras: Ancho = √(Diagonal 2 – largo 2 ) √(3 2 – x 2 ) = √(9 – x 2 ) el ancho x 3 Área: A = largo.ancho A = x. √(9 – x 2 ) = √(9.x 2 – x 4 ) Coste: C = 7.(2.x) + 10.(2.y) C = 7.2.x + 10.2. √(9 – x 2 ) C = 14.x + 20.√(9 – x 2 ) y

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Aplicación geométrica 3 Se tiene un cilindro inscrito en un cono de 3 cm de radio de la base y de 5 cm de altura. Hallar el volumen del cilindro utilizando como única variable el radio de su base, r. Resolución: Por Thales: 5 5 – h --- = ---------- 3 r Operando queda: 5.r = 15 – 3.h 3h = 15 – 5.r h = (15 – 5.r) / 3 = 5 – (5/3).r 3 cm 5 cm Volumen del cilindro: V = π.r 2.h V = π.r 2.[5 – (5/3).r] V = 5.π.r 2 – 5.π.r 3 / 3 V = 5.π.r 2.(1 – r / 3) r h