G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas.

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1 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una colección de igualdades de la forma: Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar valores de las incógnitas que verifiquen todas las igualdades a la vez. Si los términos independientes b i son todos iguales a cero, el sistema se llama HOMOGÉNEO. Dos sistemas con la misma solución son EQUIVALENTES.

2 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 Clasificación de sistemas Sistema INCOMPATIBLE No tiene solución x = 1, y = 1 verifican las dos primeras ecuaciones pero no la última Sistema COMPATIBLESí tiene solución DETERMINADO: solución única INDETERMINADO: infinitas soluciones x = 1, y = 1 es la única solución x = 1, y = -3, z = 3 es solución x = 4, y = 0, z = 0 es otra solución x = 0, y = -4, z = 4 es otra solución

3 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 Métodos de Resolución MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1.Se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en el resto. 2.Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata. 3.Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de variables. sustituimos en las otras dos ecuaciones despejamos y de la 1ª ecuación calculamos x calculamos y

4 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 4 Métodos de Resolución MÉTODO DE IGUALACIÓN 1.Se despeja la misma variable en todas las ecuaciones y se igualan los resultados. 2.Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata. 3.Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de variables. despejamos y calculamos x calculamos y igualamos

5 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 5 Métodos de Resolución MÉTODO DE REDUCCIÓN 1.Se multiplica una ecuación por un número y se suma a otra ecuación para eliminar (reducir) una variable. 2.Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata. 3.Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de variables. calculamos x calculamos y (1ª). (-2)+(2ª) A la segunda ecuación se le suma la primera multiplicada por –2. (1ª)+(3ª) A la tercera ecuación se le suma la primera multiplicada por 1.

6 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 6 Notación Matricial puede expresarse como AX = b donde matriz de coeficientes del sistema vector de variables vector de términos independientes

7 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 7 Método de Gauss para resolver sistemas En la matriz ampliada (A|b) se aplican transformaciones elementales hasta llegar a una matriz escalonada que representa un sistema equivalente al inicial. Este nuevo sistema se resuelve por sustitución regresiva. matriz ampliada del sistema transformaciones elementales

8 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 8 Método de Gauss para resolver sistemas Ejemplo: sistema equivalente sustitución regresiva

9 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 9 Teorema de Rouché-Frobenius Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, se dice: Sistema COMPATIBLE Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado SiNo Sistema incompatible Sistema compatible SíNo

10 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 10 Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1: n = 3 Sistema compatible y determinado: x = 1, y = 2, z = 3

11 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 11 Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 2: n = 3 Sistema incompatible

12 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 12 Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 3: n = 4 Sistema compatible e indeterminado Infinitas soluciones, según los valores que se den a la incógnita t

13 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 13 Resolución mediante la matriz inversa Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo número de ecuaciones que de incógnitas). Si existe la matriz inversa de A, entonces la solución viene dada por: Ejemplo:

14 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 14 Regla de Cramer Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo número de ecuaciones que de incógnitas). Si existe solución única, se puede obtener como sigue: es el determinante que resulta de sustituir la columna de A correspondiente a la incógnita i-ésima por la columna correspondiente a los términos independientes. es el determinante de A. número de incógnitas

15 G3wG3wG3wG3w rupo © Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales 15 Regla de Cramer Ejemplo: