David A. Quispe Guillén1 Programa de Especialización y Desarrollo Educativo ESTRATEGIAS INNOVADORAS PARA DOCENTES EMPRENDEDORES MÓDULO I : GESTIÓN Y LIDERAZGO.

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1 David A. Quispe Guillén1 Programa de Especialización y Desarrollo Educativo ESTRATEGIAS INNOVADORAS PARA DOCENTES EMPRENDEDORES MÓDULO I : GESTIÓN Y LIDERAZGO PARTICIPATIVO TEMA : EDITAR MI BIBLIOTECA (FUNCIONES)

2 David A. Quispe Guillén2 FUNCIONES DEFINICIÓN Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una función F se define como aquella correspondencia F: A  B, que asigna a cada elemento x  A, a lo más un elemento y  B.xABF Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una función F se define como aquella correspondencia F: A  B, que asigna a cada elemento x  A, a lo más un elemento y  B.xABF Esto significa que si x  A existe un y  B, éste es único; con lo cual decimos que (x,y) x  F, donde y es la imagen de x a través de (o vía) F y se denota así : y = f(x) Esto significa que si x  A existe un y  B, éste es único; con lo cual decimos que (x,y) x  F, donde y es la imagen de x a través de (o vía) F y se denota así : y = f(x) A B F x f(x)

3 David A. Quispe Guillén3 FUNCIONES FUNCIONES REALES FUNCIONES REALES Las funciones reales de variable real o simplemente funciones reales, son aquellos cuyo dominio y rango son subconjuntos de R. Las funciones reales de variable real o simplemente funciones reales, son aquellos cuyo dominio y rango son subconjuntos de R. Si es una función real, entonces Si es una función real, entoncesAdemás

4 David A. Quispe Guillén4 FUNCIONES GRAFO DE UNA FUNCIÓN El grafo de una función real, tiene una representación geométrica de trazo continuo en el plano cartesiano al cual lo llamaremos gráfica de la función.

5 David A. Quispe Guillén5 GRÀFICAS DE FUNCIONES

6 David A. Quispe Guillén6 FUNCION LINEAL FUNCION LINEAL VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS EJEMPLO 1 DETERMINA LA FUNCIÓN COSTO QUE PAGARÁ UN COMERCIANTE POR X PANTALONES COMPRADOS A S/. 40,00 CON UN DESCUENTO TOTAL DEL 20%?.

7 David A. Quispe Guillén7 FUNCION LINEAL FUNCION LINEAL SOLUCION Número de pantalones Costo por pantalón Con descuento del 20% Monto total ( M ) 11(40) = 40 40 - 8 = 3232 = 32(1) 22(40) = 8080 - 16 = 6464 = 32(2) 3 3(40) = 120 120 - 24 = 9696 = 32(3)........... xx(40) = 40x 40x – (40x)/5=32x M(x) = 32x

8 David A. Quispe Guillén8 FUNCION LINEAL FUNCION LINEAL EJEMPLO 2 LA FUNCIÓN QUE DETERMINE LA CANTIDAD DE DINERO GANADO EN UN AÑO EN FUNCIÓN DEL SUELDO MENSUAL ADICIONÁNDOLE S/.3 500 POR BENEFICIOS SOCIALES.

9 David A. Quispe Guillén9 FUNCION LINEAL SOLUCIÓN FUNCION LINEAL SOLUCIÓN Núme ro de mese s Sueldo por mes Sueldo en un año ( S ) Sueldo en un año más beneficios 1x 22(x) 33(x)....... 1212(x) S(x) = 12x S(x) = 12x + 3 500

10 David A. Quispe Guillén10 FUNCION LINEAL FUNCION LINEAL ENTONCES PODEMOS DECIR QUE : UNA FUNCIÓN LINEAL ES AQUELLA QUE TIENE COMO REGLA DE CORRESPONDENCIA F(x) = ax + b DONDE a; b; x €R. Dom(f) = R y Ran(f) = R

11 David A. Quispe Guillén11 FUNCIONES NOTABLES FUNCIONES NOTABLES FUNCIÓN CONSTANTE: f(x)=c, x pertenece a los números reales

12 David A. Quispe Guillén12 FUNCIONES NOTABLES FUNCIONES NOTABLES FUNCIÓN IDENTIDAD: f(x)= x, x pertenece a los números reales

13 David A. Quispe Guillén13 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO GRAFICA LA FUNCIÓN F(x) = x

14 David A. Quispe Guillén14 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO GRAFICA LA FUNCION F(x)= -x

15 David A. Quispe Guillén15 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO GRAFICA LA FUNCION F(x)= x GRAFICA LA FUNCIÓN F(x) = -x EN UN MISMO SISTEMA CARTESIANO

16 David A. Quispe Guillén16 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

17 David A. Quispe Guillén17 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO GRAFICA LA FUNCION F(x)= x ; x ≥ 0 GRAFICA LA FUNCIÓN F(x) = -x ; x < 0 EN UN MISMO SISTEMA CARTESIANO

18 David A. Quispe Guillén18 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

19 David A. Quispe Guillén19 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO LUEGO PODEMOS DECIR QUE: LA FUNCION VALOR ABSOLUTO SE DEFINE COMO: F(x) = /x/, DONDE Dom(f) = R Ran(f) =

20 David A. Quispe Guillén20 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO GRAFICA LA FUNCIÓN F(x) = /x/

21 David A. Quispe Guillén21 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA LA FUNCION RAÍZ CUADRADA SE DEFINE COMO: Dom(f) = Ran(f) =

22 David A. Quispe Guillén22 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA GRAFICA LA FUNCIÓN F(x) =

23 David A. Quispe Guillén23 PROBLEMA PROBLEMA SUPONGA QUE UNA TARIFA DE LARGA DISTANCIA PARA UNA LLAMADA DE CERRO DE PASCO A HUANCAVELICA, ES DE S/. 0,38 EN EL PRIMER MINUTO Y DE S/. 0,30 POR CADA MINUTO O FRACCIÓN ADICIONAL. SI y = f(t) ES UNA FUNCIÓN QUE INDICA EL CARGO TOTAL “y ” POR UNA LLAMADA DE “t” MINUTOS: ESBOCE UNA GRÁFICA DE f PARA

24 David A. Quispe Guillén24 FUNCIÓN MAYOR ENTERO FUNCIÓN MAYOR ENTERO EL MAYOR ENTERO DE X ES EL MAYOR DE TODOS LOS NÚMEROS ENTEROS MENORES O IGUALES QUE x Y SE DENOTA POR:

25 David A. Quispe Guillén25 FUNCIÓN MAYOR ENTERO FUNCIÓN MAYOR ENTERO GRAFICA LA FUNCIÓN 123-2-3...... Y X

26 David A. Quispe Guillén26 APLICACIONES DE FUNCIONES EN EL COTIDIANO QUEHACER Las fuerzas de la naturaleza están relacionadas entre sí, al igual que muchos fenómenos de la vida están ligadas por diferentes variables que hacen que si una de ella varía la o las otras también varían

27 David A. Quispe Guillén27 APLICACIONES DE FUNCIONES EN EL COTIDIANO QUEHACER Nuestros alumnos tienen que estar conscientes de que la matemática actual es el resultado de una serie de transformaciones realizados por los matemáticos y que muchos de los conceptos o teorías matemáticas actuales son producto de un problema real al que se tenía que dar solución.

28 David A. Quispe Guillén28 APLICACIONES DE FUNCIONES EN EL COTIDIANO QUEHACER Les presentamos ejemplos de cómo las funciones están presentes en cada acto de nuestras vidas, en las que se pueden “matematizar” es decir hacer matemática desde la realidad, abstraer conceptos para llevarlos al plano matemático.

29 David A. Quispe Guillén29 EJEMPLOS DE FUNCIONES EN EL COTIDIANO QUEHACER Problema 1. La empresa de transportes “Gunín” tiene una tarifa de 30 nuevos soles (en promedio) de Cerro de Pasco a Lima. Transporta un promedio de 4 800 pasajeros al mes. Desea incrementar la tarifa y estima que por cada nuevo sol de aumento habrá 100 viajeros menos. ¿Cuál es la relación Ingreso-incremento?

30 David A. Quispe Guillén30 solución Incremen to (S/.) TarifaNúmero de personas Ingreso 0 30 + 0 4 800 – 0(100) = 4 800 30(4 800) = 144 000 1 30 + 1 4 800 – 1(100) = 4 700 31(4 700) = 145 700 2 30 + 2 4 800 – 2(100) = 4 600 32(4 600) = 147 200 3 30 + 3 4 800 – 3(100) = 4 500 33(4 500) = 148 5000...................................... x 30 + x 4 800 – 100x (30+x)(4 800-100x)

31 David A. Quispe Guillén31 Solución (continuación) DE LO DEDUCIDO SE OBSERVA QUE LA FUNCIÓN INGRESO ES: I(x) = (30 + X)(4 800 – 100X) I(x)= -100X2 + 1 800 X + 144 000 SU GRÁFICA ES:

32 David A. Quispe Guillén32Gráfica

33 David A. Quispe Guillén33 FUNCIÓN CUADRÁTICA REGLA DE CORRESPONDENCIA: F(x) = ax 2 + bx + c DOMINIO: LOS NÚMEROS REALES. RANGO: DEPENDE DEL SIGNO DE a Y DEL DETERMINANTE

34 David A. Quispe Guillén34 FUNCIÓN CUADRÁTICA Y h k V(h;k) Corta al eje en dos puntos. Y h k No corta el eje x.

35 David A. Quispe Guillén35 FUNCIÓN CUADRÁTICA Corta al eje en dos puntos. No corta el eje x. X h k V(h;k) X Y h k

36 David A. Quispe Guillén36 PROBLEMAS DETERMINE EL RANGO DE LA FUNCIÓN: f(x) = 3x – 2 GRAFICAMENTE Y ANALITICAMENTE EL RANGO DE LA FUNCIÓN: f(x) = -2x+5 ANALITICAMENTE LA FUNCIÓN: f(x) = 2x+3 TIENE POR RANGO DETERMINA SU DOMINIO ANALITICAMENTE

37 David A. Quispe Guillén37 PROBLEMAS DETERMINE EL USANDO EL VÉRTICE Y LUEGO ANALITICAMENTE: RANGO DE: f(x) = x 2 – 4X + 1 RANGO DE: f(x) = -x 2 + 4X - 1 RANGO DE: f(x) = x 2 + 6x

38 David A. Quispe Guillén38 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1 La demanda de un producto en función de su precio p ( en nuevos soles) está dada por Q(x) = - p 2 + 70p + 1275. a) Grafica la curva que representa la demanda. b) ¿Para qué precio la demanda es la máxima? c) ¿Cuál es el dominio de esta función? d) ¿Cuál es la cantidad de demanda del producto si éste se oferta a S/. 30,00

39 David A. Quispe Guillén39 PROBLEMAS PROPUESTOS Un albañil y su ayudante son contratados para hacer la cerca de un jardín. El ayudante comienza a trabajar a las 8,00 a.m. y cobra 9 soles por hora de trabajo, y el albañil comienza a trabajar a las 10 a.m. y cobra 12 soles la hora. ¿Obtén la función que representa el dinero que cobra cada uno de ellos desde que empieza a trabajar? ¿Cuánto han ganado cada uno cuando el ayudante lleva trabajados cuatro horas? ¿Qué tiempo después de haber trabajado cada uno, han ganado la misma cantidad? Después de cuántas horas de trabajo el albañil ganará más que el ayudante?

40 David A. Quispe Guillén40 OPERACIONES C0N FUNCIONES ADICIÓN: si f y g son funciones reales, entonces la suma de f con g es la función f + g definida por: MULTIPLICACIÓN :Si f y g son funciones reales, entonces el producto de f con g es la función f. g definida por:

41 David A. Quispe Guillén41 EJEMPLOS 1. Sean f y g funciones definidas por: Determina (f+g)(x) 2. Determina (f.g)(x)

42 David A. Quispe Guillén42 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Definición: Si f y g son funciones reales. La composición de f con g denota por gof (se lee f compuesta con g), es la función: De la definición de infiere que: I. II.

43 David A. Quispe Guillén43 FUNCIÓN INYECTIVA Sea y = f(x) una función con dominio Dom(f) y rango Ran(f); se dice que (f) es inyectiva si y solo si: para todo los valores x Є Dom(f), le corresponden elementos diferentes yЄ Ran (f).

44 David A. Quispe Guillén44 PROPIEDADES DE LA INYECTIVA 1.- f es inyectiva ↔ {x 1, x 2 Є Dom (f): x 1 ≠ x 2 → f(x 1 ) ≠ f(x 2 )} Probar que la función: f(x) = 3x - 2 es inyectiva en todo su dominio: 2.- f es inyectiva ↔ {x 1, x 2 Є Domf: f(x 1 ) = f(x 2 ) → x 1 = x 2 } Probar que la función es inyectiva en todo su dominio

45 David A. Quispe Guillén45 FUNCIÓN INVERSA Sea y = f(x) una función inyectiva con dominio Dom (f) y rango Ran (f); se dice que f posee inversa, y está se define como: F -1 = {(y;x) / y = f(x) ^ x Є Dom f} donde: Dom (f -1 ) = Ran(f) y Ran (f -1 ) = Dom (f)

46 David A. Quispe Guillén46 EJEMPLOS Dada: f = {(-3;1), (-2;2), (0;0), (1;3), (3;-2)}, entonces halle f -1, si es que existe. Dada la función: f(x) = 3x - 2, hallar la función inversa de (f) si existe Dom(f) = R

47 David A. Quispe Guillén47 EJERCICIOS 1.Dada f=((-4,1)(-3,0)(-1,3)(2,4)(3,5)} (1) Hallar: f -1 (2) Calcular: (3) Calcular :

48 David A. Quispe Guillén48 EJEMPLOS 1.Hallar la función f(x), indicando su dominio y rango.

49 David A. Quispe Guillén49 EJEMPLOS 2. Si la siguiente función es inyectiva; encuentra la función inversa.

50 David A. Quispe Guillén50 EJEMPLOS 3. Bosquejar la gráfica de la ecuación: 9x 2 - 90x - 4y + 209 = 0. Determina sus interceptos, su rango, su vértice.

51 David A. Quispe Guillén51 EJEMPLOS 4.- Sea la función: F(x) = x 2 – 8x + 12 cuyo dominio es. [0,8]. Obten el rango

52 David A. Quispe Guillén52 EJEMPLOS 5.-Sea la función F(x) definida por y determina su rango.

53 David A. Quispe Guillén53 EJEMPLOS 6.- Encuentra el rango de la función: N(x) = -x 2 + 6x 0 ≤ x ≤ 6 7.- Halla el valor de “a” para que el conjunto de pares ordenados sea función. Indica su dominio y su rango

54 David A. Quispe Guillén54 EJEMPLOS 8.-En se definen las funciones y. Si Halla el rango de g.

55 David A. Quispe Guillén55 EJEMPLOS 9.- Calcula el rango de 10.- Sea una función cuyo dominio es Determina su rango.