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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS Tema 10.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS Tema 10."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS Tema 10

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 DERIVADA DE OPERACIONES Tema 10.5 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f (x) = lím = = = 0 h 0 h h h Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) x + h - x h f (x) = lím = = = 1 h 0 hh h Sea f(x) = x 2 Aplicando la definición de derivada: f (x + h) - f(x) (x + h) 2 - x 2 x x.h + h 2 - x 2 f (x) = lím = = = h 0 h h h = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = x 3 De igual manera se llegaría a que f (x) = 3. x 2 Resumiendo: f (x) = x f (x) = 1 f (x) = x 2 f (x) = 2.x f (x) = x 3 f (x) = 3. x 2 Generalizando:f (x) = x n f (x) = n. x n – 1 Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x) + g(x + x) f(x) g(x) y ' = lím = x 0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) g(x) = lím = x 0 x x f(x + x) - f(x) g(x + x) g(x) = lím lím = x 0 x x 0 x y = f (x) + g (x)

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x). g(x + x) f(x). g(x) y ' = lím = x 0 x Sumamos y restamos f(x).g(x+ x) al numerador, quedando: f(x + x). g(x + x) f(x). g(x) + f(x).g(x+ x) - f(x).g(x+ x) = lím x 0 x Sacando factor común : [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) = lím x 0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) = lím ---- g(x + x) + lím f(x) = x 0 x x 0 x y = f (x). g(x) + f(x). g (x)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] y ' = lím = lím = k. f (x) x 0 x x 0 x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) y ' = lím = lím = x 0 x x 0 f(x). f(x + x). x - [f(x + x) - f(x)] f (x) y ' = lím = - f (x) = x 0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2 (x)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g (x) - f (x) y ' = g (x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)] = g(x) f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltimo resulta: g (x). f(x) - g(x). f (x) y = f 2 (x)

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS Sea y = x Siempre se puede poner previamente como y = x 1/2 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y = 1 / 2 x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y = – 1/ x 2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y = – f (x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x), no es lo mismo (f o g)(x) que (g o f)(x) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x)) y = f (g(x)). g (x)(1) Sea y = g(f(x)) y = g (f(x)). f (x)(2) Ejemplo 1 Sea f(x) = x 3 y g(x) = (x – 1) Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (x – 1) 3 = x 3 – 3x 2 + 3x – 1 Derivadas : f (x) = 3x 2,, g (x) = 1,, f (g(x)) = 3x 2 – 6x + 3,, g (f(x)) = 3x 2 (1) y = f (g(x)). g (x) = (3x 2 – 6x + 3 ).1 = 3x 2 – 6x + 3 Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = x 3 – 1 (2) y = g (f(x)). f (x) = 1. 3x 2 = 3x 2

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 REGLA DE LA CADENA Ejemplo 2

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 REGLA DE LA CADENA Ejemplo 3


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