La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 Tema 11.3 * 1º BCT DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = e x la llamada función exponencial. Aplicando la definición de derivada: f(x + h) f(x) e x+h – e x y ' = lím = lim = h 0 h h 0 h e x e h – e x e x (e h – 1) e h – 1 y ' = lím = lim = e x lim h 0 h h 0 h h 0 h Para h=0,001 e x 1,0005 Para h=0,00001 e x 1, Vemos pues que el límite final tiende a 1. Luego y = e x La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Sea y = a x, para a > 0 y a <> 1. Haciendo un cambio de base: y = a x ln y = x. lna y = e x.lna Aplicando la Regla de la cadena: y = e x.lna = (e x ) lna y = ln a.(e x ) lna – 1. e x y = ln a.e x.lna. e x / e x y = ln a.e xlna = ln a. a x Sea y = a f(x), para a > 0 y a <> 1. Haciendo un cambio de base: y = a f(x) ln y = f(x). lna y = e f(x).lna Aplicando la Regla de la cadena: y = e f(x).lna = (e f(x) ) lna y = ln a.(e f(x) ) lna – 1. e f(x) f (x) y = ln a.e f(x).lna. f (x).e f(x) / e f(x) y = ln a. f (x). a f(x)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 EJEMPLOS

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 EJEMPLOS

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Tema 11.4 * 1º BCT DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA MEDIANTE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea f(x) = e x y = e x x = ln y (f -1 )(x) = ln x Vemos f (f -1 )(x) = x, pues e ln x = x Derivamos ambos lados de la igualdad: e ln x. ( ln x ) = 1 ( ln x ) = 1 / e ln x = 1 / x MEDIANTE LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea y = ln x ln (x+h) - ln x ln (x+h)/x 1 y ' = lím - = lim = lim ln (x+h)/x = h 0 h h 0 h h 0 h 1/h h 1/h. x/x 1/x = lím ln [(x+h)/x] = lim ln ( ) = ln e = 1 / x h 0 h 0 x Luego si f(x) = ln x f (x) = 1 / x

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea f(x) = log x Se procede a un cambio de base: 10 y = x ln10 y = lnx y ln10 = Ln x y = ln x / ln 10 Queda: f(x) = lnx f (x) = = ln10 ln 10 x x.ln10 Sea f(x) = log a x Se procede a un cambio de base: a y = x ln a y = ln x y.lna = Ln x y = ln x / ln a Y derivando: 1 y ' = x. ln a

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Derivada del logaritmo de una función Sea f(x) = ln g(x) Aplicando la regla de la cadena: 1 g(x) f (x) = g (x) = g(x) g(x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea f(x) = log g(x) o f(x) = log a g(x) Aplicando un cambio de base: g(x) = 10 y y = ln g(x) / ln 10 Aplicando un cambio de base: g(x) = a y y = ln g(x) / ln a 1 g (x) 1 g (x) y ' = o y = ln 10 g(x) ln a g(x)

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejemplos y = ln (x – 2.x 3 ) y = (1 – 6.x 2 ) / ( x – 2.x 3 ) y = ln (x 3 + e x ) y = (3.x 2 + e x ) / (x 3 + e x ) y = log (x. e -x ) y = [e -x + x.(- e -x )] / (x. e -x ).ln10 y = ln (x 2.(3x – 2)) y = (2x.(3x – 2) + x 2.3) / (x 2.(3x – 2)) y = log 5 (x 3.3 x ) y = (3x 2.3 x + x 3.3 x.ln3) / (x 3.3 x ).ln5 y = ln [(x 2 – 3) / x ] y = [2x.x – (x 2 – 3)] / x 2. [(x 2 – 3) / x ] = [x 2 + 3] / [(x 4 – 3x 2 ) / x] = (x 3 +3x)/(x 4 – 3x 2 ) = (x 2 + 3) / (x 3 – 3.x) y = (x – 1). ln x y = ln x + (x – 1) / x

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplos propuestos y = 3 / log x y = x / ln x y = (x – 1) / log 4 ( x – 1) y = log 2 ( - 2.x 3 ) + log 3 (4.x – 1) y = ln (x 4 + 5). log x y = ln (x 3 + 5x) / ln x

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 g(x) Sea y = f (x), función POTENCIAL-EXPONENCIAL Tomando logaritmos neperianos: ln y = g(x). ln f(x) Derivamos ambos lados de la igualdad: y / y = [ g (x). ln f(x) + g(x). ( f (x) / f(x) )] y = y. [ … ] g(x) y = f (x). [ g (x). ln f(x) + g(x). ( f (x) / f(x) ) ] Nota: D ada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales. DERIVADAS DE FUNCIONES POTENCIAL-EXPONENCIALES

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 EJEMPLOS y = x 3 – x ln y = (3 – x).ln x y / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ] y = y.[…] y = (ln x) x ln y = x.ln(ln x) y / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ] y = y.[…] y = (x 2 – 3.x) 2.x – 1 ln y = (2.x – 1).ln (x 2 – 3.x) y / y = [ 2. ln (x 2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x 2 – 3.x) ] y = y.[…] y = (x – 1) ln x ln y = ln x. ln (x – 1) y / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ] y = y.[…] y = ( x) 3x + 5 ln y = (3.x + 5).ln x y / y = [ 3. ln x + (3.x + 5).(1 / 2 x) / x ] y = y.[…]


Descargar ppt "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS."

Presentaciones similares


Anuncios Google