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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Números complejos TEMA 7.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Números complejos TEMA 7

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 OPERACIONES BINÓMICAS TEMA 7.2 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 SUMAS Y RESTAS SUMA El resultado de la suma de dos o más nºs complejos es otro nº complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales, y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Sean los nºs complejos: z1 = a+bi, z2 = c+di z1+z2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i Ejemplo:(3 – 2i)+(2 + 3i) = (3+2)+(– 2+3)i = 5 + i Ejemplo:(4 – 5i)+(– 3 + 5i) = (4+(– 3))+(– 5+5)i = 1 + 0i = 1 RESTA Idem de la suma, con la salvedad de que ahora no existe la propiedad commutativa; o sea que no es lo mismo z1 – z2 que z2 – z1. Ejemplo:(3 – 2i) – (2 + 3i) = (3 – 2)+(– 2 – 3)i = 1 – 5i Ejemplo:(2 + 3i) – (3 – 2i) = (2 – 3)+(3 – ( – 2))i = – 1 + 5i

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 PRODUCTOS PRODUCTO La unidad de los números imaginarios se ha dicho ya que es i =-1 Según eso observar la siguiente tabla con atención: i = i i 2 = i.i = = - 1 i 3 = i.i.i = i = - 1.i = - i i 4 = i.i.i.i = = (- 1).(- 1) = 1 Pues bien: z 1.z 2 = (a+bi).(c+di) = a.c+a.d.i+b.i.c+b.i.d.i = = a.c + b.d.(i.i)+(a.d+bc)i = ( a.c - b.d )+(a.d+bc)i Ejemplos: (3+4i).(2+5i) = i+4i.2+4i.5i = i + 8i +20i 2 = – i (–2+3i).(1+i) = – 2.1+(–2)i+3i.1+3i.i = – 2 – 2i + 3i + 3i 2 = – 5 + i (–2i).(–1 – i ) = (–2i).(–1) + (–2i).(– i) = 2i + 2i 2 = 2i – 1 = –1 + 2i

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 DIVISIÓN Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador. Para ello se multiplica numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. Con lo cual se consigue eliminar la parte imaginaria del denominador Ejemplo 3 – 2i (3 – 2i).(4 – 3i) 12 – 9i – 8i + 6i 2 6 – 17i = = = = ---- – ---- i 4 + 3i (4 + 3i).(4 – 3i) 16 – 9i – 2i (– 2i).(1 + i) – 2i – 2i 2 2 – 2i = = = = ---- – ---- i = 1 – i 1 – i (1 – i).(1 + i) 1 – i

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 INVERSO El inverso de z es el número: _ _ 1 z z z -1 = ---- = = z _ |z| 2 z. z Ejemplos 1 (3 + 4i) 3 + 4i 3 + 4i 3 + 4i (3 – 4i) -1 = = = = = – 4i (3 – 4i) (3 + 4i) (– 1 + i) – 1 + i – 1 + i – 1 + i (– 1 – i) -1 = = = = = – 1 – i (– 1 – i) (– 1 + i) 1 – i 2 2 (2) 2

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z. si z = a + bi se tiene que Conj z = a - bi, de donde, Conj (Conj z ) = a + bi = z Segunda propiedad Dados dos números complejos cualesquiera z y z', el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Tomando :z = a + bi y z' = c + di Se obtiene:z + z = (a+c)+(b+d)i Conj (z+z ) = (a+c) – (b+d)i (a – bi)+(c – di) = (a+c) – (b+d)i Tercera propiedad El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números: Siz = a + bi y z = c + di Se tiene quez · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i. Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que: a + bi = a - bi Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real. Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales. (a + bi ) + (a - bi ) = 2a (a + bi ) (a - bi ) = 2a - 2(bi) = 2a + 2b Ejemplos (3 + 7i ) + (3 - 7i ) = (3+3)+(7 – 7)i = 6 + 0i = 6 (2 + 3i ) (2 - 3i ) = 4 – 6i + 6i – 9i 2 = = 13 (– 1 + i) (– 1 – i) = 1 + i – i – i 2 = 1 – (– 1) = = 2

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 POTENCIAS DE COMPLEJOS BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C.a + C.a. b + C. a. b C. b m m m m Las potencias de números complejos se hacen desarrollando la potencia del binomio (Newton) y teniendo en cuenta las potencias de i. m 0 m 1 m-1 2 m m m m (a+bi) = C.a + C.a. b.i + C. a. b.i C. b. i m m m m

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejercicios de POTENCIAS 1.-(2 – 3i) 3 = C 3,0.2 3 – C 3, i + C 3,2.2. (3i) 2 – C 3,3.(3i) 3 = = 8 – 3.4.3i i 2 – 27.i 3 = 8 – 36i – i = – 46 – 9i 2.-(1 + 2i) 4 = C 4,0 + C 4,1. 2i + C 4,2. (2i) 2 + C 4,3.(2i) 3 + C 4,4.(2i) 4 = = i + 6.4i i i 4 =1+ 8i – 24 – 32i + 16 = – 7 – 24i 3.-(– 1 + i) 3 = C 3,0.(-1) 3 + C 3,1.(-1) 2.i + C 3,2.(-1). i 2 + C 3,3.i 3 = = – i + 3.(-1).i 2 + i 3 = – 1 + 3i + 3 – i = 2 + 2i 4.-(1 – i) 5 = C 5,0 – C 5,1. i + C 5,2. i 2 – C 5,3.i 3 + C 5,4.i 4 – C 5,5.i 5 = = 1 – 5.i + 10.i 2 – 10.i i 4 – i 5 = 1 – 5i – i + 5 – i = – 4 – 4i 5.-(3 – 2i) 7 = C 7,0 3 7 – C 7, i + C 7, i 2 – C 7, i 3 + C 7, i 4 – – C 7, i 5 + C 7,6. 3. i 6 – C 7,7.i 7 = 2347 – i i 2 – – i i 4 – i i 6 – 128.i 7 = = 2347 – 10346i – i – 6048i – i

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejercicios propuestos


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