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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 FUNCIONES RACIONALES Tema 9.4 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Una función f se llama racional si se puede escribir como cociente de dos funciones polinómicas, f(x) = P(x) / Q(x), donde Q(x) es de grado mayor o igual que la unidad. Ejemplos a desarrollar: 1.-f(x) = x / (x 2 + 1) 2.-f(x) = (x +1) / (x 2 – 1 ) 3.-f(x) = (x 2 – 5.x) / (x – 5) 4.-f(x) = (x 2 + 4) / (x 2 – 4 ) 5.-f(x) = (x + 3) /(x x + 2) 6.-f(x) = (x + x 3 ) / (x 4 + 1) FUNCIÓN RACIONAL

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 DOMINIO El dominio, Dom f(x), de una función racional, f(x) = P(x) / Q(x), es todo R excepto los valores de x tales que Q(x)=0 En dichos puntos mencionados la gráfica presenta una discontinuidad. RECORRIDO El recorrido o imagen, Img f(x), de una función racional es más difícil de determinar, siendo preciso en muchos casos la gráfica de la función. Así, aunque en la mayoría de los casos la asíntota horizontal no forma parte del recorrido, lo forma si ésta es cortada por la gráfica. CORTES CON LOS EJES Como ya se vio el punto de corte con el eje Y será (0, f(0(). Para hallar los puntos de corte con el eje X basta hacer el numerador igual a cero. CARACTERÍSTICAS

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 SIGNO DE LA FUNCIÓN Vale lo señalado en el apartado correspondiente ya estudiado. SIMETRÍAS Vale lo señalado en el apartado correspondiente ya estudiado. ASÍNTOTAS Verticales: Suelen ser los puntos que anulan el denominador, excepto aquellos que también anulen el numerador. Horizontales: Habrá siempre que grado[P(x)] grado[Q(x)]. Oblicuas: Habrá sólo en el caso en que grado[P(x)] = grado[Q(x)] + 1 TENDENCIA Es importante hallar los límites laterales en los puntos de asíntotas verticales. CARACTERÍSTICAS

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejemplo 1 1.f(x) = x /(x 2 + 1) Dom f(x) = R Presenta simetría impar f(x) = -f(-x) Hay una asíntota horizontal y vale y = lim f(x) = 0 x oo xy -3-0,3 -2-0,4 -1-0, ,5 20,4 30,3 Img f(x) = [Mín, Máx] = [- 0,5, 0,5] x y -1 -0,5 0,5 1 Img f(x)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT x 2.-f(x) = (x + 1) / (x 2 – 1) Dom f(x) = R – {1, -1} Sólo hay una asíntota vertical, no dos. Hay una asíntota horizontal y vale y = lim f(x) = 0 x oo xy -2-0, ,5-0, , ,5 Img f(x) = R – { 0 } y

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 3.-f(x) = (x 2 – 5.x) / (x – 5) Dom f(x) = R – {5} No hay asíntota vertical, pues en x=5 También se anula el numerador. No una asíntota horizontal: y = lim f(x) = oo x oo xy Img f(x) = R – { 5 } y

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejemplos 4, 5 y 6

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT x Y Max Mín Ejemplo 7 4 – 2.x 2 f(x) = x + 3 Dom f(x)= R – {- 3} Asíntota vertical: x= – 2.x lím = = = - oo x - 3 x Tendencia lím f(x) = - oo x - 3+ lím f(x) = + oo x - 3- Asíntota horizontal: 4 – 2.x 2 y =lím -- = - oo No hay x oo x + 3 Asíntota oblicua: - 2.x = - 2.x x + 3 x + 3 y = -2.x + 6 es la a. oblicua. Máximos y mínimos relativos: La derivada igualada a cero – 4x.(x+3) – 4+2.x 2 y = = 0 (x + 3) 2 x = - 0,35 y - 5,64


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