La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 CALCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 De funciones racionales Al calcular el límite de una función racional, y = P(x) / Q(x), en el infinito, donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado igual o superior a la unidad, nos resultará: Lím P(x) / P(x) = [+oo/+oo] o [- oo/+oo] o [+oo/-oo] o [-oo/-oo] x +oo O también: Lím P(x) / P(x) = [+oo/+oo] o [- oo/+oo] o [+oo/-oo] o [-oo/-oo] x – oo Las cuatro expresiones señaladas son similares. Todas ellas indican un valor desconocido, indeterminado. Todas ellas son llamadas INDETERMINACIONES. Su valor, si le hay, se determinará aplicando una estrategia concreta. El resultado puede ser: + oo, – oo, 0, o un número real cualquiera, tanto positivo como negativo.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / x m Lím f(x) = Lím x a x a D(x) / x m Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Ejemplo 1 2.x 3 - 3x oo 3 – 3.oo + 1 oo lím = = [-----] x oo x 3 – x oo 3 – oo 2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3/x 2 )+ (1/x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím = = = 2/1 = 2 x oo 1 – (1/x) – (5/x 3 ) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejemplo 2 2.x 3 - 3x oo 3 – 3.oo + 1 oo lím = = [ ] x oo 5 - x oo 2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3 / x 2) + (1 / x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím = = = x oo (5 / x 3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo Vemos que NO existe límite en el infinito.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Ejemplo 3 2.x oo oo lím = = [ ] x oo x 3 5 – 4.oo 3 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2/x + (1 / x 3 ) (2/oo) + (1/oo) lím = = = ---- = 0 x oo (5 / x 3 ) - 4 (5/oo) – 4 – 4 Vemos que existe límite en el infinito y vale 0.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejemplo 1 lím x – (x 2 - x) =[oo – oo] = x oo (x – (x 2 - x)). (x + (x 2 - x)) Lím = x oo x + (x 2 - x) x 2 - ( x 2 - x ) x Lím = Lím = x oo x + (x 2 - x) x oo x + (x 2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím = = 1 / (1+1) = 1 / 2 x oo 1 + (1 - 1/x) 1 + ( 1 – 0)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejemplo 2 lím (x 2 - 2x + 3) – x =[oo – oo] = x oo ( (x 2 - 2x + 3) – x ). ( (x 2 - 2x + 3) + x) Lím = x oo (x 2 - 2x + 3 ) + x x 2 – 2.x x 2 - 2x + 3 Lím = Lím = x oo (x 2 - 2x + 3) + x x oo (x 2 - 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: / x Lím = = - 2 / (1+1) = - 2 / 2 = -1 x oo (1 - 2/x + 3/ x 2 ) + 1 ( 1 – 0 + 0) + 1

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L x a x a x a Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor.

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplo 1 x x lím. Lím = = [oo.0] x 1 x - 1 x 1 x 0 1 x x x 3 - x 0 lím = lim = [----] x 1 x - 1 x 1 x 1 x 2 - x 0 Factorizamos los polinomios existentes que se puedan: x (x+1).(x-1) x lím = lím = ---- = 2 x 1 (x – 1).x x 1 1 1

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Ejemplo 2 1 x lím. Lím = = - [oo.0] x -1 x +1 x - 1 x 0 -1 Multiplicamos ambas funciones: x (x+1).(x 2 – x +1) (x 2 – x +1) lím -- = [ --- ] = lim = lím = x - 1 x 2 +x 0 x -1 (x +1).x x - 1 x (-1) 2 – (-1) = = = ---- = Como se ve, al resolver una indeterminación ha dado lugar a otra diferente. El limite resultante no vale ni 0 ni oo.


Descargar ppt "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8."

Presentaciones similares


Anuncios Google