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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 OPERACIONES CON FUNCIONES Tema 8.3 * 1º BCT

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 OPERACIONES CON FUNCIONES SUMA DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función SUMA y la denotamos así: (f+g)(x) = f(x) + g(x) Para Vxє[Dom f(x) Dom g(x)] PRODUCTO DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así: (f.g)(x) = f(x). g(x) Para Vx є [Dom f(x) Dom g(x)] DIVISIÓN DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: (f/g)(x) = f(x) / g(x) Para Vx є { [Dom f(x) Dom g(x)], donde g(x) <> 0

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R, pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1}, pues cuando x=1 g(1) = 1/0 =, que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x / ( x – 1) = (x 2 – 1 +1) /(x-1) = x 2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1}, intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x y g(x) = -x Dom f(x) = R+, pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R-, pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + -x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x – 1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R, pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1}, pues cuando x=1 f(1) = 1/0 =, que no existe. Sea (f. g)(x) = f(x). g(x) = ( x – 1). 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x, el Dom (f.g)(x) = R – {1}, intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x - 1 y g(x) = 2 - x Dom f(x) = V x є [1, + ) Dom g(x) = V x є (-, 2] Sea (f.g)(x) = f(x). g(x) = x-1. 2-x = - x 2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ],, (g o f)(x) = g [ f (x) ] xf(g(x) g(x) X Y Z g f fogfog

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x,, g(x) = x (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x 2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x 2 ) – 1 = ( 1 - x 2 ) / x 2 Ejemplo_2 Sea f(x) = x,, g(x) = x 2 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = x 2 = x (g o f)(x) = g [ f (x) ] = ( x) 2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_3 Sea f(x) = sen x,, g(x) = x 2 – 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x 2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Ejemplo_4 3 Sea f(x) = x,, g(x) = x (f o g)(x) = f [ g (x) ] = ( x 2 ) = x 2 = x 3 3 (g o f)(x) = g [ f (x) ] = ( x) 2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_5 Sea f(x) = sen x,, g(x) = x 2 – 1,, h(x) = x (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen (( x) 2 – 1) = sen (x – 1) (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen x) 2 – 1 A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 FUNCIÓN INVERSA DE OTRA Sea y = f(x) una función real de variable real. Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x) Condición: Si f(a) = b f -1 (b) = a Relaciones entre una función y su inversa: (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x Una función tiene función inversa sólo si cualquier línea horizontal corta a la gráfica una vez como máximo.

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y. Ejemplo 1 Sea f(x) = x y = x 2 – 1 x = y 2 – 1 y 2 = x + 1 y = +/- (x+1) La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene inversa. Ejemplo 2 Sea f(x) = 1 / (x – 2) y = 1 / (x – 2) x = 1 / (y – 2) x.y – 2.x = 1 y = (1 + 2.x) / x Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada. Comprobemos: (f o f -1 )(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejemplo 3 Sea f(x) = sen x - 1 y = sen x – 1 x = sen y – 1 sen y = x + 1 y = arc sen (x + 1) Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 ) Comprobemos: (f o f -1 )(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x Ejemplo 4 Sea f(x) = (x – 1) y = (x – 1) x = (y – 1) x 2 = y – 1 y = x Luego f -1 (x) = x Comprobemos: (f o f -1 )(x) = (x – 1) = x 2 = x (f -1 o f)(x) = [ (x – 1)] = x – = x

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplos gráficos 1 y 2 En color rojo f(x) y en color azul f -1 (x), o viceversa. y = - 2.x y = - x / 2 y = 2.x + 1 y = (1/2).x - 2

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Ejemplos gráficos 3 y 4 En color rojo f(x) y en color azul f -1 (x), o viceversa. y = ln x y = e x y = x 2 +1 y = (x-1)


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