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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA TEMA 5.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA TEMA 5."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA TEMA 5

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 ECUACIÓN GENERAL TEMA 5.2 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = x o + t.a y = y o + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t, resulta: x – x o = t.a (x – x o ) / a = t y – y o = t.b (y – y o ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: x - x o y - y o t = t = , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ecuación continua de la recta. ECUACIÓN CONTINUA

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Ejemplo_1 Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Hallar su ecuación continua. Tenemos:(x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3.t,, y = t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x – 0 y – 2 t = , t = Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 Ejemplo_2 Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). Hallar su ecuación continua. Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6.t,, y=4 + 8.t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - x o y - y o = a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b.(x – x o ) = a.(y - y o ) b.x – b.x o = a.y – a.y o b.x – a.y – b.x o + a.y o = 0 Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b.x o + a.y o Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) ECUACIÓN GENERAL

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x - 3 y = Operando en la proporción: - 5.(x – 3) = 2.(y + 2) - 5.x + 15 = 2.y x – 2.y + 15 – 4 = 0 5.x + 2.y – 11 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - x o y – y o x – (- 2) y – (- 4) = ; = a b 3 2 Operando en la proporción: 2.(x +2) = 3.(y + 4) 2.x + 4 = 3.y x – 3.y + 4 – 12 = 0 2.x – 3.y – 8 = 0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 ECUACIÓN NORMAL TEMA 5.3 * 1º BCT

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 ECUACIÓN SEGMENTADA DE UNA RECTA Sea P(p, 0) el corte de una recta con el eje de abscisas y Q(0, q) el corte de la misma recta con el eje de ordenadas. La ecuación continua de la recta será: x – p y – 0 r = – p q – 0 Operando: q.x – p.q = – p.y q.x + p.y = p.q Dividiendo todo entre el producto p.q x y r = 1 p q 0 p x q ECUACIÓN SEGMENTADA r y Q(0, q) P(p, 0)

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejemplo 1 Sea la recta de ecuación 5.x + 4.y – 20 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 5.x + 4.y – 20 = 0 Opero: 5.x + 4.y = 20 Divido todo entre 20: 5.x 4.y 20 r = Queda: x y r = Donde 4 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes de abscisas y ordenadas. 0 4 x 5 r y Q(0, 5) P(4, 0)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejemplo 2 Sea la recta de ecuación 5.x – 3.y + 15 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 5.x – 3.y + 15 = 0 Opero: 5.x – 3.y = – 15 Divido todo entre – 15: 5.x – 3.y – 15 r = – 15 – 15 – 15 Queda: x y r = Donde – 3 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes x 5 r y Q(0, 5) P(- 3, 0)

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejemplo 3 Sea la recta de ecuación: 2.x + 3.y + 18 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 2.x + 3.y + 18 = 0 Opero: 2.x + 3.y = – 18 Divido todo entre – 18: 2.x 3.y – 18 r = – 18 – 18 – 18 Queda: x y r = Donde – 9 y – 6 son los segmentos que determina al cortar a los ejes x -6 r y Q(0, -6) P(- 9, 0)

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 El vector director de dicha recta es u = (-B, A) Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) Ejemplo: Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 El vector director es: u(5, 4) Un vector perpendicular será: v(-4, 5) Pues u.v = (5,4).(-4,5) = = 0 0 x v ECUACIÓN NORMAL r y u P(x,y)

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 Sea un vector perpendicular v(A, B) Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) Sea un punto general de r, P(x,y) Tenemos: v.PQ = 0 Por ser v y PQ vectores perpendiculares. (A, B).(x – a, y – b) =0 A(x – a)+B(y – b) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. Si se desarrolla queda: Ax + By – Aa – Bb = 0 Dividido entre el módulo de v queda: A B C r: x y = 0 (A 2 +B 2 ) (A 2 +B 2 ) (A 2 +B 2 ) 0 x v ECUACIÓN NORMAL r y u P(a,b) P(x,y)

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 Ejemplo 1 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0 3x – 4(y – 2) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: (A 2 +B 2 ) = (9+16) = r: x – y = 0, r: 0 6x – 0 8y = Ejemplo 2 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: (A 2 +B 2 ) = (64+36) = r: x y – = 0, r: 0 8x + 0 6y – 1 = 0 que es la canónica


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