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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 SUCESIONES Tema 8.10 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Límite de una sucesión Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: |a n – a| < r El límite se representa por la notación. Lím a n = a n oo Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Ejemplo 1 2n - 1 Sea la sucesión a n = n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a 10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Hallamos el valor de algunos términos: a 1 = 1, a 10 = 19, a 100 = 199 Lím a n = 2 n oo Hallamos la distancia de a 10 al límite | a 10 - a | = |1,9 – 2| = |-0 1| = 0 1 Hallamos el término pedido: | a n - a | < r | a n - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | | < 0,001 | | < 0,001 n n 1/n < 0,001 1 < 0,001.n 1/0,001 < n n > 1000 n=1001

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Ejemplo 2 2 – 3n Sea la sucesión b n = n + 1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b 20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. Hallamos el valor de algunos términos: b 1 = -05, b 20 = , b 2000 = Lím b n = - 3 n oo Hallamos la distancia de a 20 al límite | b 20 - b | = | – (-3)| = |3 – | = Hallamos el término pedido: | b n - b | < r | b n – (-3) | < 0, – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | (-3) | < 0,0001 | | < 0,0001 n + 1 n +1 5/(n+1) < 0, < 0,0001.n + 0, – < n < 0,0001n / < n n > n=50000

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Sucesión creciente y decreciente Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir a n+1 – a n 0 Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir a n+1 – a n 0 Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Ejemplo 1 3n - 1 Sea la sucesión a n = n Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a 1 = 1, a 10 = 145, a 100 = 1495 Lím a n = 1,5 n oo Crecimiento 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) a n+1 - a n = – = = 2(n+1) 2n 2n(n+1) 3n 2 +2n – (3n 2 +4n+1) – 2n – 1 – = = = ---- = – Decreciente 2n(n+1) 2n(n+1) +

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Ejemplo 2 2 – n Sea la sucesión a n = n + 1 Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a 1 = 0,5 a 10 = -0,7272 a 100 = -0,9703 Lím a n = - 1 n oo Crecimiento 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) a n+1 - a n = – = = (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1) 1 – n 2 – (4 – n 2 ) – 3 – = = = ---- = – Decreciente (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) +

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 LÍMITES DE SUCESIONES Tema 8.11 * 1º BCT

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de n elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(n) / n m Lím an = Lím n oo n oo D(n) / n m Donde m es el enponente de n entre numerador y denominador, N(n) y D(n) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo], [-oo / oo], [ oo / - oo]

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejemplo 1 2.n 3 - 3n oo 3 – 3.oo + 1 oo lím = = [-----] n oo n 3 – n oo 3 – oo 2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n 3 ) 2 - (3/n 2 )+ (1/n 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím = = = 2/1 = 2 n oo 1 – (1/n) – (5/n 3 ) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplo 2 2.n 3 - 3n oo 3 – 3.oo + 1 oo lím = = [ ] n oo 5 - n oo 2 - oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n 3 ) 2 - (3 / n 2) + (1 / n 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím = = = n oo (5 / n 3 ) - (1 / n) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo Vemos que NO existe límite en el infinito.

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 El número e Es transcendente, lo que significa que no es solución de ninguna ecuación algebraica. Se llama así en honor a Euler, su descubridor. Es el límite de la sucesión indicada abajo. Está relacionado su valor con los límites de todas las sucesiones que presentan la indeterminación [ 1 oo ]

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 Ejemplo inicial

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT15 Ejemplos (Siempre n oo y sólo si [1 oo ])

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT16 Ejemplos (Siempre n oo y sólo si [1 oo ])


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