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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 Tema 11 DERIVADAS Y GRÁFICAS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 Tema 11.5 * 1º BCT DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Observar la figura. El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad. Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x Podemos poner: sen x < x < tg x Dividiendo todo entre sen x queda: sen x x tg x < < sen x sen x sen x x 1 < < cos x sen x Cuando x 0 1 < 0 / sen 0 < cos 0 0 Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1 Lo que obliga a que = 1 sen 0 LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA x xsen x tg x

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Sea f(x) = sen x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) sen (x+h) – sen x f (x) = lím = lim = h 0 h h 0 h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: 2.cos [(x+h+x)/2]. sen [(x+h – x)/2] f (x) = lím = h 0 h sen (h/2) sen h/2 = lím cos [x+(h/2)] = cos x. Lim = cos x. 1 = cos x h 0 h/2 h 0 h/2 Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Sea f(x) = cos x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) cos (x+h) – cos x f (x) = lím = lim = h 0 h h 0 h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: - 2.sen [(x+h+x)/2]. sen [(x+h – x)/2] f (x) = lím = h 0 h sen (h/2) sen h/2 = lím - sen [x+(h/2)] = - sen x. Lim = - sen x h 0 h/2 h 0 h/2 Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Sea f(x) = tg x Aplicando la definición de tangente: tg x = sen x / cos x Derivando como una división de funciones que es: cos x. cos x – sen x. (- sen x) (cos x) 2 + (sen x) 2 1 f (x) = = = (cos x) 2 (cos x) 2 (cos x) 2 Como 1/ cos x = sec x Queda: f (x) = 1 / cos 2 x O también f (x) = sec 2 x DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Sea f(x) = sec x Aplicando la definición de secante: sec x = 1 / cos x Y se derivaría como una división – (- sen x) sen x tg x f (x) = = = (cos x) 2 (cos x) 2 cos x Sea f(x) = cosec x Aplicando la definición de cosecante: cosec x = 1 / sen x Y se derivaría como una división – cos x - cos x - 1 f (x) = = = (sen x) 2 (sen x) 2 tg x. sen x OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Sea f(x) = cotg x Aplicando la definición de secante: cotg x = cos x / sen x Y se derivaría como una división (– sen x).sen x – cos x. cos x – (sen x) 2 – (cos x) 2 – 1 f (x) = = = (sen x) 2 (sen x) 2 (sen x) 2 Sea f(x) = sen g(x) Sea f(x) = cos g(x) Sea f(x) = tg g(x) Etc … Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejemplos y = sen x 2 y = cos x 2. 2x y = cos x 3 y = - sen x 3. 3x 2 y = ln sen x y = cos x / sen x = cotg x y = log cos x y = (- sen x / cos x) / ln 10 y = sen ln x y = cos ln x. (1 / x) y = sen 3 x y = 3. sen 2 x. cos x y = cos 5 x 3 y = 5. cos 4 x 3. (– sen x 3 ). 3x 2 y = sen x y = (1/2) (sen x) -1/2. cos x

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Tema 11.6 * 1º BCT DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Sea f(x) = arcsen x Es la función inversa de f(x) = sen x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas: sen(arcsen x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (cos(arcsen x)).(arcsen x) = 1 Como sabemos que: (sen(arcsen x)) 2 + (cos(arcsen x)) 2 = 1 También sabemos que sen(arcsen x) = x Luego x 2 + (cos(arcsen x)) 2 = 1 (cos(arcsen x)) = (1 - x 2 ) Despejando: (arcsen x) = 1 / (cos(arcsen x)) Resultando que f (x) = 1 / (1 - x 2 ) DERIVADAS DEL ARCO SENO

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Sea f(x) = arccos x Es la función inversa de f(x) = cos x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas: cos(arccos x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (- sen(arccos x)).(arccos x) = 1 Como sabemos que: (sen(arccos x)) 2 + (cos(arccos x)) 2 = 1 También sabemos que cos(arccos x) = x Luego (sen(arccos x)) 2 + x 2 = 1 (sen(arccos x)) = (1 - x 2 ) Despejando: (arccos x) = 1 / (- sen(arccos x)) Resultando que f (x) = – 1 / (1 - x 2 ) DERIVADAS DEL ARCO COSENO

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Sea f(x) = arctg x Es la función inversa de f(x) = tg x Su dominio es todo R. Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas: tg(arctg x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (1 / (cos(arccos x)) 2 ).(arctg x) = 1 Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x)) 2 = (sec(arctg x)) 2 También sabemos que (sec(arctg x)) 2 = (tg(arctg x)) Y por último como tg(arctg x) = x (sec(arctg x)) 2 = x Despejando: (arctg x) = 1 / (x 2 + 1) Resultando que f (x) = 1 / (x 2 + 1) DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 Ejercicios propuestos Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: y = arcsen x 2 y = y = arccos x 3 y = y = ln arcsen x y = y = log arctg x y = y = arctg e x y = y = arcsen 3 x y = y = arccos 5 x 3 y = y = arcsen e x y =


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