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GEOMETRÍA PUNTOS EN EL ESPACIO EL ESPACIO AFÍN A3A3.

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Presentación del tema: "GEOMETRÍA PUNTOS EN EL ESPACIO EL ESPACIO AFÍN A3A3."— Transcripción de la presentación:

1 GEOMETRÍA PUNTOS EN EL ESPACIO EL ESPACIO AFÍN A3A3

2 Consideramos el conjunto de todos los puntos del espacio. A dicho conjunto le llamaremos espacio afín tridimensional y lo designamos por A 3 Llamaremos sistema de referencia del espacio de puntos a un conjunto formado por un punto fijo (O: origen) y tres vectores que formen base del espacio vectorial V 3 En la práctica, utilizaremos siempre una base ortonormal Vector de posición del punto P:OP Definición Coordenadas del punto P =Coordenadas del vectorOP Definición Coordenadas de P=(x.y,z) O P O P P=(1,2,15) Definición: CONCEPTOS BÁSICOS

3 COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS P O Q OQPQPO=+ OQPQOP= - PQ= coordenadas de Q – coordenadas de PCoordenadas de Ejercicio: sean los puntos P(1,-4,5) y Q(-2,3,-6). Calcula las coordenadas de PQ y halla un punto R que cumpla:ORPQ= Solución: (-3,7,-11)

4 Recuerda: tienen la misma direcciónexiste un número t que cumple: Ejemplo 1: ¿Están alineados los puntos P(1,1,3) Q(-1,6,7) y R(0,2,3)? considera los vectores que unen los puntos PQ y PR ¿cómo deben ser? Ejemplo 2: Halla m y n para que los puntos P(1,m,3) Q(-1,1,2) y R(0,2,n) estén alineados Ejemplo 3: Halla un vector unitario (módulo 1) con la misma dirección y el mismo sentido que el vector (1,2,2) VECTORES CON LA MISMA DIRECCIÓN solución: m=3; n=5/2 solución: (1/3,2/3,2/3)

5 ECUACIONES DE LA RECTA ¿Cómo se determina una recta? Para determinar una recta, utilizaremos un punto fijo de la recta A y un vector que tenga la dirección de la recta, (vector director) ECUACIÓN VECTORIAL A u X ¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en la recta? uAX || tuAX = tu OX =OA+ Ecuación vectorial de la recta Existe un numero t que cumple: tu =OX - OA

6 (x,y,z)=(a 1,a 2,a 3 )+t(u 1,u 2,u 3 ) Si sabemos las coordenadas del punto y del vector director: A= (a 1,a 2,a 3 ) Vector director: (u 1,u 2,u 3 ). Sea X un punto cualquiera de la recta X=(x,y,z) x=a 1 +tu 1 y=a 2 +tu 2 z=a 3 +tu 3 Ecuaciones paramétricas de la recta ECUACIONES PARAMÉTRICAS ECUACIONES CONTINUAS Despejando el parámetro t en la tres ecuaciones paramétricas anteriores e igualando las expresiones, obtenemos: Ecuaciones continuas de la recta

7 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Para calcular las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos P y Q, tomaremos como punto fijo uno cualquiera de los dos (P o Q) y como vector director el vector PQ Ejemplo 1: Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta que pasa por los puntos P(1,0,2) y Q(-1,3,3) x=1-2t y=3t z=2+t Ejemplo 2: Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta paralela a la anterior que pasa por el punto O.

8 ECUACIONES DEL PLANO ¿Cómo se determina un plano? Para determinar un plano, utilizaremos un punto del plano A y dos vectores (no paralelos) que tengan la dirección del plano, (vectores directores) ECUACIÓN VECTORIAL ¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en el plano? u AX es C.L. de Ecuación vectorial del plano existen dos números t y s que cumplen: A v u vy X

9 (x,y,z)=(a 1,a 2,a 3 )+t(u 1,u 2,u 3 )+s(v 1, v 2, v 3 ) Si sabemos las coordenadas del punto y de los vectores directores: A= (a 1,a 2,a 3 ) Vectores directores: (u 1,u 2,u 3 ) y (v 1, v 2, v 3 ). Sea X un punto del plano X=(x,y,z) x=a 1 +tu 1 +sv 1 y=a 2 +tu 2 +sv 2 z=a 3 +tu 3 +sv 3 ecuaciones paramétricas del plano ECUACIONES PARAMÉTRICAS Ejemplo 1: Sea el plano definido por el punto y los vectores siguientes: x=0+t+s y=1+t z=-2+2t+s ecuaciones paramétricas del plano

10 Como hemos visto, la condición que debe cumplir el punto X para estar en el plano es: AX es C.L. deu vy Si formamos la matriz cuyas columnas son los vectoresAXu v ¿Qué rango tendrá dicha matriz? ¿Cuánto valdrá su determinante? ECUACIÓN GENERAL ecuación general del plano Ejemplo 2: halla la ecuación general del plano del ejemplo1 x+(y-1)-(z+2)=0x+y-z-3=0


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