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1 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Coordenadas en el espacio (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de.

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1 1 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Coordenadas en el espacio (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S. Vector de posición de P Origen de coordenadas

2 2 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ejes coordenados. Planos coordenados Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

3 3 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Coordenadas de un vector libre

4 4 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Coordenadas del punto medio de un segmento

5 5 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Determinación de una recta. Ecuación vectorial

6 6 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Determinación de una recta. Ecuaciones paramétricas

7 7 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuaciones de la recta en forma continua

8 8 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuaciones de los ejes en forma vectorial, paramétrica y continua

9 9 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, AB) ó r(B, AB) (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a 1, a 2, a 3 ) + t (b 1 –a 1, b 2 –a 2, b 3 –a 3 )

10 10 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuación vectorial del plano Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que (A, v, w ) es una determinación lineal del plano X está en si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w Por tanto x – a = s v + t w Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s R y t R Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0

11 11 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuaciones paramétricas y general del plano El desarrollo de este determinante conduce a la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0

12 12 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuaciones de los planos cartesianos

13 13 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuación normal del plano Un punto X(x, y, z) está en el plano si y sólo si n es perpendicular a MX Por tanto: n. MX = 0 n. ( x – m ) = 0 que es la ecuación normal del plano. Sea M un punto cualquiera del plano, y sea (A, B, C) un vector normal al plano. Desarrollando la expresión anterior obtenemos: (A, B, C). (x – x 1, y – y 1, z – z 1 ) = 0 A( x – x 1 ) + B(z – z 1 ) + C(z – z 1 ) = 0 o bien A x + B y + C z + D = 0 donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano

14 14 1 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuación del plano que pasa por tres puntos La determinación lineal de dicho plano será: Por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante: Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos. (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X (x, y, z)

15 15 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de dos planos Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(A) = rango(B) = 2rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) =

16 16 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de tres planos (I) Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Los tres planos tienen un punto en común Sistema compatible Determinado de rango 3 rango(A) = rango(B) = 3 Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 2 Triedro Tres planos distintos Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos 1 2a2a 2b2b

17 17 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de tres planos (II) Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(A) = rango(B) = 1 Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3 Tres planos coincidentes Prisma Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos 3 4b4b Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 4a4a

18 18 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de tres planos (III) Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 Tres planos paralelos Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos 5a5a Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 5b5b

19 19 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Ecuación de la recta como intersección de planos Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 dos planos no paralelos. Los puntos de la recta intersección son aquellos que verifican simultáneamente las ecuaciones de ambos planos. Por ello la ecuación de la recta r será: Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta es suficiente obtener la solución general del sistema indeterminado que forman las ecuaciones generales de los dos planos.

20 20 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de una recta y un plano Sean : ax + by + cz + d = 0 y y la recta r dada como intersección de ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ":a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(A) = rango (B) = 3rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos 1 2 3

21 21 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de dos rectas (I) Sea r dada como intersección de los planos a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 y b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 = 0 y d 1 x + d 2 y + d 3 z + d 4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Las dos rectas tienen un punto en común Sistema compatible determinado rango(A) = rango(B) = 3 Las rectas tienen todos sus puntos comunes Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 2 1 Rectas secantes Rectas coincidentes 2

22 22 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Posiciones relativas de dos rectas (II) Sea r dada como intersección de los planos a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 y b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 = 0 y d 1 x + d 2 y + d 3 z + d 4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Las rectas no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3rango(A) = 3; rango(B) = 4 43 Rectas paralelas Rectas que se cruzan Sistema incompatible Las rectas no tienen puntos en común


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