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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 ASÍNTOTAS Tema 8.8 * 1º BCT

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 EJEMPLO Sea f(x) = 4 / x Cuando el valor de x se aproxima a cero, x 0,por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas. Por ello x=0 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x ± oo, vemos que la gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal x y=f(x)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT x y OTRO EJEMPLO Sea f(x) = x / (2+x) Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2. Por ello x= - 2 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la gráfica tiende a juntarse con la recta y = 1. Por ello la recta y=1 es una Asíntota Horizontal.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Y OTRO EJEMPLO Sea f(x) = x / (x 2 + 1) Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x ± oo, el valor de f(x) tiende a cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0 Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. Como se aprecia no existen asíntotas verticales ni oblicuas. Mín x y -1 -0,5 0,5 1 Máx

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde a no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x 2 x = 2 es una Asíntota Vertical. ASÍNTOTAS

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m), para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x ± oo

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x ± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x f(x) x 2 – 3 x 2 3 m =Lím = Lím = Lím – ---- = 1 – 0 = 1 x oo x x oo x 2 x oo x 2 x 2 n =Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x 2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x 2 ] = 0 x oo x oo La recta y = 1.x + 0 y = x es una asíntota oblicua.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x x 2 – = x ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto x x Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x 2 – 5.x + 3) / (x – 1) x 2 – 5.x = x – ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto x – 1 x – 1

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Gráfica Ejemplo_1 x 2 – 3 f(x) = x Límite por la derecha de 0: x 2 – 3 – 3 lím = = - oo x 0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x 2 – 3 – 3 lím = = + oo x 0 - x x Y1Y1

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Gráfica Ejemplo_2 x f(x) = x Límite por la derecha de 0: x lím = = + oo x 0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x lím = = - oo x 0 - x x Y Max Mín


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