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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS Tema 10.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS Tema 10

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 TASAS DE VARIACIÓN Tema 10.1 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – aes la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a)es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m, pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Incremento de una función (1) Sea la función f(x) = x Verde Sea la función g(x) = x 2 Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 2 2 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. a=0 2 b=4 x y4y4

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Incremento de una función (2) Sea la función f(x) = x / 2 Verde Sea la función g(x) = x 2 / 8 Rojo Sea la función h(x) = x Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. a=0 b=4 x y f(4)=g(4)=h(4)=2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejercicio Sea la función f(x) = x 3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) TVM = = = – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) TVM = = = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) TVM = = = – (-1) x y=f(x)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + h) – f (a) TVI = lím h 0 h h es el incremento de la variable x a=0 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = x

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Ejemplo En las proximidades de a=0 (0+h)/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim = ½ h 0 h (0+h) 2 /2 – 0 2 /2 TVI [g(x)]= lim = h = 0 h 0 h (0+h) – 0 TVI [g(x)]= lim = h 0 h h h h 1 1 = lim = lim =---- = --- = oo h 0 h h 0 h. h h 0 a=0 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = x

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 SENTIDO GEOMÉTRICO DE LA TVI 0 a b c d t v f(a)=f(b) f(d) f(c) TVI(a)=1 TVI(b)= – 1 TVI(c)=0,2 TVI(d)=0,8


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