Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y Angel Prieto Benito

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1 Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito
Apuntes 1º Bachillerato CT

2 Apuntes 1º Bachillerato CT
CÁLCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

3 Apuntes 1º Bachillerato CT
Límites con radicales Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. Ejemplo 1 √x – (√x – 1).(√x + 1) (x – 1) lím ‑‑‑‑‑‑‑----- = lim = lím = ---- x x – x1 (x – 1).(√x +1) x1 (x – 1).(√x +1) 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

4 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 2 √ (x – 2) – √ (3 – 2) – – lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = = [-----] x x – – – Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√ (x – 2) – 1).(√ (x – 2) + 1) x – 2 – 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ = lím = x (x – 3).(√ (x – 2) + 1) x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) (x – 3) = lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = 1 / 2 x3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) √ (3 – 2) + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

5 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 3 √x – √4 – – lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = = [-----] x4 √(x – 3) – √(4 – 3) – – Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√x – 2).(√x + 2). (√ (x – 3) + 1) lím ‑‑‑‑‑‑‑ = x4 (√x + 2). (√ (x – 3) – 1). (√ (x – 3) + 1) (x – 4). (√ (x – 3) + 1) √ (4 – 3) lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = = 2 / 4 = 1 / 2 x4 (√x + 2). (x – 4) √ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

6 Límites por cambio de variable
Al hallar el limite en un punto, a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0], pero no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. Procede realizar un cambio de variable: n Si en la función hay un radical del tipo √x , el cambio de variable será: x = tn Si en la función hay un radical del tipo √(x – a) , el cambio de variable será: x – a = tn n m Si en la función hay un radical del tipo √x y √x , el cambio de variable será: x = tMCM(n,m) Y tras el cambio de variable se factorizan los polinomios que se obtenga. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

7 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 1 √(x-2) √3-2) – – lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = = [-----] x x – – – Cambio de variable: x – 2 = t2  x = t2 + 2 √(t ) √ t2 – t – lím ‑‑‑‑‑‑‑ = lím = lim = [-----] t t2 + 2 – t  t2 – t1 t2 – t – lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = = 1/2 = 0,5 t1 ( t + 1 ).( t – 1 ) t t @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

8 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 2 3 √x – √x – lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [-----] x 1 - √x – Cambio de variable: x = t12, pues 12 = mcm (2,3 y 4). √ t12 – √ t t4 – t lím ‑‑‑‑‑‑‑ = lím = [ ] que ahora se puede t t t factorizar. 1 - √ t12 – t4 (t2 – 1) – t4 (t – 1)(t + 1) t4 (t + 1) (1+1) lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = = = t1 – (t3 – 1) – (t – 1) .(t2 + t + 1) (t2 + t + 1) = 2 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

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Indeterminada [1oo] Sabemos que 1k = 1 siempre. Sabemos que koo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1oo , no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [1oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser eλ , con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente xa Y el límite sería, si le hay : L = eλ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

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El número e Sea la sucesión n 1 , donde n es un número natural Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25 Para n = 3 , el término de la sucesión vale: (1+0,3333)3 = 2,37 Para n = 4 , el término de la sucesión vale: (1+0,25)4 = 2,4414 ………. Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048 …….. Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

11 Apuntes 1º Bachillerato CT
El número e Sea la sucesión n 1 , donde n es un número natural Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ n L = lím ( ) = = e , donde λ = lím ( – 1).n = --- = 1 noo n n  oo n n λ Luego L = e = e = e @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

12 El número e en las funciones
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13 Ejemplos 1-2-3 (Siempre xoo y sólo si [1oo])
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14 Ejemplos 4-5-6 (Siempre xoo y sólo si [1oo])
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15 Apuntes 1º Bachillerato CT
Otra forma de cálculo Ejemplo 7: 3 / (x-1) / 0 x λ lím ‑‑ = ‑ = [1oo ] = Indeterminación = e x λ = lím (base – 1 ). Exp x (x ) (x-1).3 λ = lím ( ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = = 3/2 x x ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

16 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 8: (x2-1) /x [oo / oo] x oo λ lím ‑‑ = = … = [1oo ] = Indet = e xoo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x (x2-1) x oo λ = lím ( ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = [ ] = … = 1 xoo x x x oo 1 L = e = e Hay que resolver las indet. [oo/oo]. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT