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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 CÁLCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis2 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Límites con radicales Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. Ejemplo 1 x – 1 ( x – 1).( x + 1) (x – 1) 1 lím = lim = lím = ---- x 1 x – 1 x 1 (x – 1).( x +1) x 1 (x – 1).( x +1) 2

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Ejemplo 2 (x – 2) – 1 (3 – 2) – 1 1 – 1 0 lím = = = [-----] x 3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: ( (x – 2) – 1).( (x – 2) + 1) x – 2 – 1 lím = lím = x 3 (x – 3).( (x – 2) + 1) x 3 (x – 3).( (x – 2) + 1) (x – 3) 1 = lím = = 1 / 2 x 3 (x – 3).( (x – 2) + 1) (3 – 2) + 1

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Ejemplo 3 x – 2 4 – 2 2 – 2 0 lím = = = [-----] x 4 (x – 3) – 1 (4 – 3) – 1 1 – 1 0 Multiplicamos y dividimos por el conjugado: ( x – 2).( x + 2). ( (x – 3) + 1) lím = x 4 ( x + 2). ( (x – 3) – 1). ( (x – 3) + 1) (x – 4). ( (x – 3) + 1) (4 – 3) lím = = = 2 / 4 = 1 / 2 x 4 ( x + 2). (x – 4)

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Límites por cambio de variable Al hallar el limite en un punto, a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0], pero no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. Procede realizar un cambio de variable: n Si en la función hay un radical del tipo x, el cambio de variable será: x = t n n Si en la función hay un radical del tipo (x – a), el cambio de variable será: x – a = t n n m Si en la función hay un radical del tipo x y x, el cambio de variable será: x = t MCM(n,m) Y tras el cambio de variable se factorizan los polinomios que se obtenga.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Ejemplo 1 (x-2) ) – 1 1 – 1 0 lím = = = [-----] x 3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 Cambio de variable: x – 2 = t 2 x = t (t ) - 1 t 2 – 1 t – 1 0 lím = lím = lim = [-----] t 1 t – 3 t 1 t 2 – 1 t 1 t 2 – 1 0 t – lím = lím = = 1/2 = 0,5 t 1 ( t + 1 ).( t – 1 ) t 1 t

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Ejemplo 2 3 x – x 1 – 1 0 lím = = [-----] x x 1 – 1 0 Cambio de variable: x = t 12, pues 12 = mcm (2,3 y 4). 3 t 12 – t 12 t 4 – t 6 0 lím = lím = [ ] que ahora se puede t 1 4 t t 3 0 factorizar. 1 - t 12 – t 4 (t 2 – 1) – t 4 (t – 1)(t + 1) t 4 (t + 1) 1.(1+1) lím = = = = t 1 – (t 3 – 1) – (t – 1).(t 2 + t + 1) (t 2 + t + 1) = 2 / 3

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Indeterminada [1 oo ] Sabemos que 1 k = 1 siempre. Sabemos que k oo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1 oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [ 1 oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser e λ, con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente x a Y el límite sería, si le hay : L = e λ

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Sea la sucesión n , donde n es un número natural n Para n = 1, el término de la sucesión vale: (1+1) 1 = 2 Para n = 2, el término de la sucesión vale: (1+0,5) 2 = 2,25 Para n = 3, el término de la sucesión vale: (1+0,3333) 3 = 2,37 Para n = 4, el término de la sucesión vale: (1+0,25) 4 = 2,4414 ………. Para n = 100, el término de la sucesión vale: (1+0,01) 100 = 2,7048 …….. Para n = 1000, el término de la sucesión vale: (1+0,001) 1000 = 2,7169 …….. Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. El número e

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Sea la sucesión n , donde n es un número natural n Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ 1 n L = lím ( ) = 1 = e, donde λ = lím ( – 1).n = --- = 1 n oo n n oo n n λ 1 Luego L = e = e = e El número e

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 El número e en las funciones

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Ejemplos (Siempre x oo y sólo si [1 oo ])

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 Ejemplos (Siempre x oo y sólo si [1 oo ])

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT15 Ejemplo 7: 3 / (x-1) 3 / 0 x λ lím = --- = [1 oo ] = Indeterminación = e x λ = lím (base – 1 ). Exp x (x ).3 (x-1).3 λ = lím ( ). = lím = = 3/2 x 1 2 x ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e Otra forma de cálculo

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT16 Ejemplo 8: (x 2 -1) /x [oo / oo] x + 1 oo λ lím = = … = [1 oo ] = Indet = e x oo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 (x 2 -1) x oo λ = lím ( ). = lím = [ ] = … = 1 x oo x x x 2 oo 1 L = e = e H ay que resolver las indet. [oo/oo].


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