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Euler - Matemáticas I Tema: 12 1 Operaciones con funciones. Acotación Final Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que.

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1 Euler - Matemáticas I Tema: 12 1 Operaciones con funciones. Acotación Final Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g) Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) x f(x)f(x) + g(x)g(x) 1

2 Euler - Matemáticas I Tema: 12 2 Operaciones con funciones. Acotación Final Función opuesta Si f es una función, se define su función opuesta -f de la siguiente forma: (-f)(x) = - f(x) siendo el dominio de -f el mismo que el de f y = f(x) y =- f(x) Dom (f) Dom (-f) (x, f(x)) (x, -f(x)) 2

3 Euler - Matemáticas I Tema: 12 3 Operaciones con funciones. Acotación Final Valor absoluto de una función Si f es una función, se define el valor absoluto de f, |f|, como: |f|(x) = |f(x)|, para todo x que pertenece al dominio de f. y = f(x) puntos con imagen negativa Simetrizamos las partes negativas respecto al eje OX y = |f(x)| Conocida la gráfica de y = f(x), ¿cómo construir la gráfica de y = |f(x)|? 3

4 Euler - Matemáticas I Tema: 12 4 Operaciones con funciones. Acotación Final Producto y cociente de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: Producto: (f. g) (x) = f(x). g(x). Por tanto: Dom(f. g) = Dom(f) Dom(g) Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define: Cociente: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) {x R : g(x) 0} 4

5 Euler - Matemáticas I Tema: 12 5 Operaciones con funciones. Acotación Rec(g) Final Composición de funciones La función h(x) = (2x - 1) 2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t 2 x 2x-1 = t t 2 = (2x-1) 2 R R g R f x (2x-1) 2 h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1) 2 = (f o g)(x) RRR Dom(g) Rec(f) g f Dominio de la composición de funciones El dominio de f o g está formado por los x tales que x está en el dominio de g g(x) está en el dominio de f Dom(f) Dom(f o g) Rec(f o g) 5

6 Euler - Matemáticas I Tema: 12 6 Operaciones con funciones. Acotación Final Funciones inyectivas Un función f tiene la propiedad de la recta horizontal en un dominio D, si para todo valor c del recorrido de la función, la recta y = c corta a la gráfica de f en un solo punto. f no tiene la propiedad de la recta horizontal f tiene la propiedad de la recta horizontal Formulación algebraica de la propiedad de la recta horizontal: una función f es inyectiva en D si para a,b D tal que f(a) = f(b) se tiene que a = b 6

7 Euler - Matemáticas I Tema: 12 7 Operaciones con funciones. Acotación Final Función inversa Si f inyectiva, la función inversa f, escrita f -1, satisface x = f -1 (y) y = f(x) Como consecuencia: El dominio de f es el recorrido de f -1 El recorrido de f -1 es el dominio de f Si (x, y) está sobre la gráfica de y = f(x), (x, y) está sobre la gráfica de f -1. Por tanto las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. f(x) f -1 (x) (x, f(x)) (f(x), x) (x, f(x)) (f(x), x)

8 Euler - Matemáticas I Tema: 12 8 Operaciones con funciones. Acotación Final Funciones acotadas Una función y = f(x) está acotada superiormente (inferiormente) en un conjunto D si existe un número M (m) tal que f(x) M (m f(x)) para todo x de D. Se dice que M (m) es una cota superior (inferior). Una función acotada superior e inferiormente se dice que está acotada M' es cota superior de f(x) en D = R y = f(x) y = g(x) El supremo S, es la menor de las cotas superiores M'' es cota superior de f(x) en D = Rm' es cota inferior de f(x) en D = Rm'' es cota inferior de f(x) en D = R El ínfimo I, es la mayor de las cotas inferiores y = f(x) está acotada y = g(x) no está acotada S I 8

9 Euler - Matemáticas I Tema: 12 9 Operaciones con funciones. Acotación Final Crecimiento y decrecimiento de una función [a[a ]b]b x f(x) y f(y) Función creciente en [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b] [a[a ]b]b x f(x) Función decreciente en [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b] f(y) y 9

10 Euler - Matemáticas I Tema: Operaciones con funciones. Acotación Final Máximo y mínimo de una función Mínimo, de valor T en el punto t, de f(x) en el conjunto D Máximo, de valor S en el punto s, de f(x) en el conjunto D D s S t T El máximo de una función f en D es el mayor de los valores que toma f en D. El mínimo de una función f en D es el menor de los valores que toma f en D. 10


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